[과외]고등 수학 II-2.분수부등식

목차

분수부등식 문제 1~22

본문내용

={x｜-2≤x<2}
∴A∩B={x｜0≤x<2}
={x｜0≤x≤2, x≠2}
={x｜≤0}
7.Ans)④
Sol)
f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3) (a>0)로 놓으면
∴ 정수x는 -1, 1, 3, 4의 4개이다.
8.Ans)③
sol)
= f(f(x)) = f()
∴ 준식 : x> +1
⇒ ⇒ (x+1)(x-1)<(x-1)³, x≠1
⇒ (x-1)(x²-3x) > 0, x≠1
⇒ x(x-1)(x-3) > 0, x≠1
∴ 03
Ⅱ. 부 등 식
2. 분수부등식
9.Ans) ④
Sol)
x²+x+1 > 0, x²-x+1 > 0, 이므로
준식: (x-a)(x²-x+1) > (x-b)(x²+x+1)
⇒ (a-b+2)x²-(a+b)x+a-b < 0 ···· ㉠
한편 (x-)(x-1) < 0
⇒ 3x²-4x+1 < 0 ······· ㉡
㉠과 ㉡이 서로 같아야 하므로
연립하여 풀면 a=, b=
∴ a+b = +=4
10.Ans) 1,2,3
Sol)
< <
(ⅰ) <
⇒ x(x+3) < x², x≠0
⇒ x{(1-)x+3} < 0, x≠0
⇒ 0 < x < = ····· ㉠
(ⅱ) <
⇒ (x+1)²< (x+4)(x+1), x≠-1
⇒ (x+1){(-1)x+-4} < 0
⇒ -1 < x < = ······ ㉡
∴ ㉠, ㉡에서
0 ∴ 양의 정수 x는 1,2,3
11.Ans) ③
Sol)
(준식) : ≥ 0
⇒ (x+1)(x-2)²(x-3)≥0, x≠2, x≠3
⇒ (x+1)(x-3)≥0, x≠2, x≠3
⇒ x≤-1 or x≥3, x≠2, x≠3
∴ x≤-1 or x>3
12.Ans) a=-2, b=3
Sol)
> 0
⇒ a(x+)(x-3) > 0, x≠3
⇒ (x+)(x-3)<0, x≠3, a<0 ········ ㉠
㉠과 2 -=2, b=3
∴ a=-2, b=3
Ⅱ. 부 등 식
2. 분수부등식
13.Ans)⑤
Sol)
≥0 ⇔f(x)≥0, g(x)≠0
(ⅰ) f(x)≥0 ⇒ c≤x≤l, x≥m, x=b
(ⅱ) g(x)≠0 ⇒ x≠b, x≠m
따라서 보기의 8개 값 중 (ⅰ)을 만족하는 것은 b,c,d,e,l,m,n.
이 중 (ⅱ)를 만족하는 것은 c,d,e,l,n
∴ 5개
14.Ans)③
Sol)
< 1-a
⇒ x(x-1)< (1-a)(x-1)², x≠1
⇒ (x-1) (ax-a+1)<0 , x≠1
⇒ a(x-1) (x-)<0 , x≠1
⇒ (x-1) (x-)>0 , x≠1 (∵a<0)
⇒ x<1 or x>
(∵ a<0 ⇒ =1->1)
15.Ans) ④
Sol)
A: 2+ <
⇒ < -2
⇒ <
⇒ x(x+1)²< x²(x+1)(1-2x), x≠0, x≠-1
⇒ x(x+1)(2x²+1)<0 , x≠0, x≠-1
⇒ x(x+1)<0, x≠0, x≠-1
⇒ -1 < x< 0
따라서 A⊂B 이려면
α≤-1
∴α의 최대값
: -1
16.Ans)⑤
sol)
=t(t>0)라 하면
(준식) :
⇒ (t³-1)(t²-2t+4) ≤ 12(t³-1), t≠1
⇒ (t³-1)(t²-2t-8) ≤ 0, t≠1
⇒ (t-1)(t²+t+1)(t+2)(t-4) ≤ 0, t≠1
⇒ (t-1)(t-4) ≤ 0, t≠1 (∵ t>0)
⇒ 1 ∴ 1<≤4
⇒
⇒ 0< x ≤ 2
Ⅱ. 부 등 식
2. 분수부등식
17.Ans) ②
Sol)
x²+x+1=(x+)²+ > 0 이므로
양변에 3(x²+x+1)을 곱하면
x²+x+1<3(x²-ax+a²)<9(x²+x+1)
(ⅰ) x²+x+1<3(x²-ax+a²)에서 식을 정리하면,
2x²-(3a+1)x+3a²-1>0 ···· ①
(ⅱ) 3(x²-ax+a²)<9(x²+x+1)에서 식을 정리하면,
2x²+(a+3)x-a²+3>0 ····②
①,②가 모든 실수 x에 대하여 성립하기 위해서는 판별식 D<0 이어야 한다.
①에서 D=(3a+1)²-8(3a²-1)<0
∴ 5a²-2a-3>0
∴ a< -, a>1 ······ ③
②에서 D=(a+3)²-8(-a²+3)<0
∴ 3a²+2a-5< 0
∴ -< a< 1 ······ ④
③,④의 공통범위는 -< a<-
18.Ans) 3
Sol)
++ ≤ -1
⇒+≤-1-
⇒
⇒(x+1)(x+2)(x+3)(x³+9x²+23x+17)≤0,
x≠ -1, -2, -3
x³+9x²+23x+17=0 의 세 실근을 α,β,γ(α<β<γ)라 하면 구하는 구간의 길이는
(-3-α)+(-2-β)+(-1-γ)=-6-(α+β+γ)
∴ 근과 계수와의 관계에서 α+β+γ= -9 이므로 구하는 값은 -6+9=3
19.Ans)②
Sol)
0≤≤ 1
⇒ 0≤2ax+b²≤ x²+x+1
(ⅰ) 2ax+b²≥ 0 for all x.
a=0 ······· ㉠
(ⅱ) x²+x+1≥ 2ax+b²for all x
⇒ x²+(1-2a)x+1-b² ≥ 0 for all x
D≤0 ⇒ (1-2a)²-4(1-b²)≤ 0
⇒ 4(a-)²+4b²≤ 4
⇒ (a-)²+b²≤ 1 ······· ㉡
∴ ㉠,㉡을 만족하는 영역은 ②
Ⅱ. 부 등 식
2. 분수부등식
20.Ans) ⑤
Sol)
f²(x) = ()(x) = f(f(x))
= f()
f³(x)=f²(f(x))=f(x)
f⁴(x)=f²(f²(x))=f²(x)=x
.
.
.
∴ fⁿ(x)=
∴
⇒ f(x) > x ⇒ >x
⇒ (x+1)(x-1)>x(x-1)², x≠1
⇒ (x-1)(x²-2x-1)< 0, x≠1
⇒ (x-1){x-(1-)}{x-(1+)}< 0, x≠1
∴ x< 1- 또는 1 ∴ a=1-, b=1, c=1+
∴ a+b+c =3
21.Ans) 11
Sol)
주어진 분수부등식을 정리해 보자.
(x-3)(x-2) ≤ 0 (단, x≠2,3)
(x-3)(x-2) < 0
∴ x²-5x+6 < 0
이 식이 x²-ax+b < 0과 동치이므로 a=5, b=6
∴ a+b=11
22.Ans) ④
Sol)
[x]²+[x]-2=0, ([x]+2)([x]-1)=0
∴ [x]= -2, 또는 1
∴ -2≤x<-1 또는 1≤x<2
위의 해와 같은 해를 갖는 분수부등식은
↔ (x+2)(x+1)(x-1)(x-2) ≤0
(단, x≠-1, x≠2)

키워드

집합,   부등식,   삼차함수,   함수