[과외]고등 수학 IV-2.타원의 방정식

목차

타원의 방정식 문제1~18

본문내용

때, 의 값은?
y
2
Q P
B O A x
Ⅳ.이차곡선
2.타원의 방정식
중
경기고, 경희여고
Ⅳ.이차곡선
2.타원의 방정식
중
건대부고, 백석고
15. 부등식 을 만족시키는 x,y에
대하여 의 최대값을 구하면?
① 2② ③
④ ⑤
16. 아래 그림과 같이 타원 에
내접하는 사각형 ABCD의 넓이의 최대값
은?
① ② 8③
④ ⑤ 4
y
B A(x,y)
O x
C D
Ⅳ.이차곡선
2.타원의 방정식
중
건대부고,휘문고,상일여고
Ⅳ.이차곡선
2.타원의 방정식
상
중산고, 영동고
17. 반지름의 길이가 10인 원기둥을 아래 그림
과 같이 밑면과 의 각을 이루는 평면
으로 잘랐을 때, 그 단면은 타원이다. 이
타원의 두 초점 사이의 거리는?
10
45도
18. 점 을 지나고 기울기가 1인
직선이 타원 과
만나는 두 점을 A,B라 할 때, 점
와 점 A,B를 꼭지점으로
하는 삼각형 ABC의 둘레의 길이는?
① ②
③ ④ 4
⑤ 8
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
1.Ans) ①
Sol)
x²대신 x, y²대신 2y를 대입한 식이 (1,2) 에서의 접선의 방정식이므로
2x+2y=6
⇒ x+y=3
∴ ①이 x+y=3 위의 점
2.Ans) (0, ±)
Sol)
= 54
⇒ =1
⇒ =1
∴ 초점 : ( 0,±) = (0,±)
3.Ans) ②
Sol)
16x²+25y²-96x-100y-156=0
⇒ 16(x²-6x)+ 25(y²-4y)-156=0
⇒ 16(x-3)²+25(y-2)²=400
⇒ =1
⇒ =1 ······· ㉠
㉠은 =1 ········ ㉡을
x방향으로 3, y방향으로 2만큼 평행이동시킨 도형이므로 단축의 길이는 8
4.Ans)⑤
Sol)
=4
⇒ =1
⇒ =1 ······· ㉠
구하는 직선은 기울기 -1인 ㉠의 접선이므로
y= -x±
= -x±
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
5.Ans) ④
Sol)
타원위의 20개의 교점 중에서 한 점 를 택하면 타원의 정의에 의하여
= 6 (i=1,2, …,20)
따라서, ()=6×20=120
대칭성에 의하여 구하려는 초점까지의 거리의 합은 ×120=60 이다.
6.Ans) ①
Sol)
A(-3,0), B(3,0), P(a,b)라 하면
=1 ········ ㉠
이 때, =a+3, =3-a, =｜b｜
∴ =
=(∵㉠)
=
7.Ans) ②
Sol)
주어진 타원의 방정식을 변형하면
=1 이고 초점은 (0, ±) 이다.
두 점 P,Q는 타원 위의 점이므로, 타원의 정의로부터
=2·3=6
=2·3=6
따라서, 사각형 FPF'Q의 둘레의 길이 L은 m의 값에 관계없이
L=()+()=6+6=12
로 일정하다.
한편, 사각형 FPF'Q의 넓이 S는
S=△PFF'+△QFF' = 2△PFF'
인데, 를 두 삼각형의 밑변이라 생각할 때 밑변 =2로 일정하고, ｜m｜이 작을수록 높이가 커진다. 높이가 최대일 때는 m=0일 때로 높이의 최대값은 2이다.
따라서 S는 m의 값에 따라 변하고 최대값은 m=0일 때 S=4이다.
따라서, ㄱ, ㄷ이 옳다
8.Ans) ④
Sol)
점 P의 위치에 관계없이 x+y는 평행한 두 직선 l, m 사이의 거리이므로 일정하다.
문제에서 ==C(일정) 이므로
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
+=(x+y)C (일정)
따라서 점 P의 자취는 두 점 A, B를 초점으로 하는 타원이 된다.
9.Ans) ③
Sol)
=100만㎞ 이므로
+= 800만㎞
∴ = 800만㎞-
= 800만㎞ - 500만㎞
= 300만㎞
10.Ans) ②
Sol)
=1에 접하는 기울기 m인 접선의 방정식은 y=mx±
∴ ㉮ =
초점의 좌표를 F(c,0) 이라 할 때,
c²= a²-b²
∴ ㉯ = a²-b²
(y-mx)²=a²m²+b²
(my+x)=c²=a²-b²
변끼리 더하면
(1+m²)(x²+y²)=(1+m²)a²
∴ ㉰ = a²
따라서 구하는 답은
㉮=, ㉯ = a²-b², ㉰ = a²
11. Ans)⑤
Sol)
= 이므로
-2 = -2 가 최대가 되는 것은 가 최소일 때, 즉 점 P가 단축의 양 끝점에 올 때이다.
∴ -2 = -2
≤-2
= -2
= -
= 2
따라서, k의 최소값은 2이다.
12.Ans) 9
Sol)
점 P의 좌표를 P(3cosθ, 2sinθ)라 하자.
이 때, 점 P와 점 (0, -2)를 이은 직선의 방정식은
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
y= x - 2
y=0에서 x=
∴ Q(, 0)
또, 점 P와 점 (0,2)를 이은 직선의 방정식은
y= x + 2
y=0에서 x=
∴ R(, 0)
= ·
= = 9
13.Ans) ③
Sol)
구하는 도형위의 한 점을 (x',y')라 하면 x축 방향 2배 확대인 변환 행렬이
이므로
==
⇒
⇒ ········ ㉠
㉠이 =1 위의 점이므로
=1
∴ =1
14.Ans) 6(-1)
Sol)
A,B가 준 타원의 초점이므로
===4
∴()+()+()
=12
⇒()+()
=12
⇒ 6+() =12
∴ = 12-6 =6(-1)
15.Ans) ②
Sol)
≤ 8
⇒ ≤ 1
⇒ ≤ 1
x-y=k 라 하면
y= x-k ··········· ㉠
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
그림에서 ㉠이
=1 과 접할 때가 최대,최소.
기울기 인 접선의 방정식이
y= x±
= x±
∴ -2≤-k≤2
∴-2≤k≤2
16.Ans) ①
Sol)
사각형 ABCD의 넓이가 (2x)(2y)=4xy 이므로 산술·기하평균에 의해
20= 4x²+5y²≥ 2
= 4xy
∴ 4xy ≤ =4
∴ 4xy의 최대값 : 4
17.Ans) 20
Sol)
==20를 장축, =20을 단축으로 하는 타원이므로, 좌표에 옮겨 타원의 방정식을 구성해 보면
=1 ········ ㉠
㉠의 초점은 (±, 0) = (±10, 0)
∴ 초점사이의 거리는 20
18.Ans) ⑤
Sol)
x²+2y²+2x-8y+5 = 0
⇒ (x+1)²+2(y-2)²=4
⇒ =1 ····· ㉠
㉠은 =1 ······ ㉡을 x방향으로 -1, y방향으로 2만큼 평행이동시킨 도형
㉡의 초점은 (±, 0) 이므로
㉠의 초점은 (±-1, 2)
∴ F, C는 ㉠의 두 초점
Ⅳ. 이차곡선
2. 타원의 방정식
∴ △ABC의 둘레는
()+()
= 4+4 = 8

키워드

최대,   최소,   도형,   이차곡선