복소함수론 내용 정리

목차

Ⅰ. 미분
1. 연속성
2. 미분가능성
3. 해석성
4. 급수

Ⅱ. 복소적분
1. 실변수 실수치 함수의 적분
2. 복소변수 복소치 함수의 적분(선적분)
3. Cauchy적분정리
4. Cauchy정리의 응용

Ⅲ.로랑전개와 유수정리
1. 특이점
2. 로랑전개
3. 유수정리
4. 실적분에의 응용

본문내용

극을 갖는다. (단, 위수는 아직 알 수 없다.)
(증명)
(ii) 에서 위수 의 극을 가지면 로 나타낼 수 있다.
(iii) 정함수 가 에서 위수 의 극을 갖는다 ⇔
(이것이 가능한 이유는 복소평면에는 가 빠지기 때문이다.)
(증명)
③ 고립진성특이점 : 제거가능특이점도 아니고 극도 아닌 고립특이점
(i) 에서 고립진성특이점을 가지면 는 의 구멍뚫린 각 근방의 모든 복소수값 에 접근한다.
(증명)
(ii) 에서 고립진성특이점을 가지면 임의의 복소수 에 대하여 인 수 열 이 존재한다.
(증명)
(참고) 가 에서 제거가능특이점/극/고립진성특이점을 갖는다
⇔ 가 에서 각각 제거가능특이점/극/고립진성특이점을 갖는다
(증명과 활용)
2. 로랑전개
① (Taylor전개) 가 에서 해석적 ⇒ 멱급수 이 의 어떤 근 방에서 성립. 여기서 이다.
② 가 에서 위수 인 극 ⇒ 급수 ()이 의 어떤 구멍뚫린 근방에서 성립
③ 가 고리 에서 해석적 ⇒ 로랑급수 이 고리 에서 성립. 여기서 (는 고리내의 단일폐등심선)
(i) 양의 멱급수를 해석부, 음의 멱급수를 주부라 한다.
(ii) 로랑전개의 주부가 0, 유한개의 항, 무한개의 항 ⇔ 에서 각각 제거가능특이점, 극, 고립진성특이점을 갖는다
(iii) 로랑급수의 계수 이 항상 적분표현식 에 의하여 구해지는 것은 아니다. 사실은 다른 방법으로 계수 을 결정하는 것이 적분식을 계산할 수 있게 해준다는 데 더 큰 의미가 있다. 특히, 관심의 대상이 되는 것은 계수 인데 그 이유는 이 적분 을 결정하기 때문이다. (유수정리와 관련)
(iv) 를 다른 영역에서 성립하는 로랑급수로 전개하면 그 모양이 달라질 수도 있다.
(문제1) 함수 을 다음 각 영역에서 로랑전개하라.
:
:
:
:
:
(v) 고립특이점에 관한 로랑전개를 할 때 대개는 주부에만 관심을 갖게 된다. 다음에 주부를 간단하게 구할 수 있는 방법을 두 가지 소개한다.
(a) 가 에서 단일극을 갖는 경우 :
가 존재하므로
로 놓을 수 있고,
따라서 주부는 이다.
(문제2) 에 대하여 의 구멍뚫린 근방에서 성립하는 로랑전개의 주부를 구하라.
(문제3) 에 대하여 의 구멍뚫린 근방에서 성립하는 로랑전개의 주부를 구하라.
(문제4) 에 대한 모든 특이점들을 구하고 각 특이점에 관한 로랑전개의 주부를 구하라.
(b) 함수가 분수형태일 경우 :
분자분모를 각각 로랑전개한 후 장제거(long division)에 의해서 구할 수도 있다.
(예) 의 원점근방에서 성립하는 로랑전개의 주부를 구해보자.
이므로, 의 원점근방에서 성립하는 로랑전개의 주부는
이다.
3. 유수정리
① 로랑전개의 계수 을 에서의 의 유수라 하고 로 나타낸다.
② 유수의 계산 방법
(i) 로랑전개의 계수 를 이용(정의)
(ii) 로 계산(로랑정리)
(iii) 에서 위수 인 극을 갖는 경우 : 로 계산
(iv) 의 꼴이고 에서 단일극을 갖는 경우 : 로 계산
③ 유수정리
가 폐등심선 의 내부에서 고립특이점 을 제외하고는 의 내부와 상 에서 해석적이라면 이다.
(문제1) 가 원점을 둘러싸는 단일폐등심선일 때 다음 각 적분값을 계산하라.
, ,
(문제2) 다음 각 단일폐등심선을 따라 을 계산하라.
, ,
(문제3) 일 떼, 를 계산하라.
4. 실적분에의 응용 : 적당한 복소함수와 적당한 등심선을 택해야 한다.
① (는 다항식, 일 때) :
(문제1)
② 삼각함수의 경우
가 다항식일 때, , : 를 이용, 복소수의 상등 이용
(문제2)
③ , : 를 이용, 복소수의 상등 이용
(문제3) , 을 각각 계산하라.
④ : 로 놓으면 , ,
(적분구간에 유의할 것) 즉, , , 이용
(문제4) , 를 각각 계산하라.

키워드

복소함수론,   복소해석학,   로랑,   코시정리,   적분정리,   복소적분