복소지수함수와 삼각함수

목차

1. 제 6, 7차 교육과정에 나타난 내용

2. 배경지식

3. 문제 풀이

4. 7차 교육과정에서 다루어지고 있는 문제들

본문내용

presentations for are derived. (다음은 을 미분으로 유도하여 멱급수로 표현한 것이다.)
a. Show that all of these series converge absolutely for all real . Use this fact to explain why these series converge for all complex numbers .
(위의 모든 급수가 축에 수렴함을 보여라. 그리고 이 사실을 이용하여 모든 복소수 일 때, 이 급수들이 수렴하는 이유를 설명하여라. )
비(比) 판정법을 이용하면 각각의 급수가 수렴함을 보일 수 있다.
1) 이라 하고
= = = = 0 <1 : 수렴
2) 이라 하고
= = =0 <1: 수렴
3) 이라 하고
= = =0 <1: 수렴
b. Use these complex series to define the complex functions for all complex . Prove that for all complex numbers .
( 일 때, 을 증명하여라.)
따라서 임의의 복소수 에 대하여 로 정의된다.
c. Apply this identity to verify Euler's formula : For any real number .
(오일러 공식을 증명하여라.)
오일러의 공식은 지수함수와 삼각함수를 연결해 주는 공식으로 중요하다.
이 공식은 오일러가 1743년 미분방정식 을 연구하다가 발견한 공식이다.
에 를 대입하면
따라서 실수부분이 없는 복소수 에 대하여 이고 이 식을 오일러 공식(Euler's formula)라고 부른다.
d. The real exponential function is positive for all real , and it assumes each positive value once and only once. Use Euler's formula to show that there are infinitely many complex numbers such that Then use mathematical software or hardware with symbolic algebra capabilities to solve the equation . Describe and explain the output.
(실복소지수함수 는 축에 대하여 양수이다. 그리고 각각의 양수값은 일대일 대응한다. 오일러 공식을 사용하여 에 대하여 무한히 많은 복소수 를 가짐을 보여라. 그리고 나서 방정식 을 풀기 위해 상징적 대수 능력을 가진 수학 소프트웨어나 하드웨어를 사용하여라. 산출값을 묘사하고 설명하여라. )
일 때,
따라서
그러므로 는 무한히 많은 복소수 를 가진다.
e. Solve the equation for its real solutions by hand and then graph on your graphing calculator to check your work. Then use mathematical software or hardware with symbolic algebra capabilities to solve this equation. Explain the output. Describe the set of all complex solutions of these equations.
(방정식 의 실수해를 손으로 풀이해 보고 답이 맞는지 체크해 보기 위해 graphing calculator 를 이용하여 를 그려보아라. 그리고 이 방정식을 풀기 위해 상징적 대수 능력을 가진 수학 소프트웨어나 하드웨어를 사용하여라. 산출값을 설명하여라. 이 방정식의 모든 복소수 해의 집합을 묘사하여라. )
를 계산하기 위해
로 치환하면
f. Show that the complex exponential function takes on all complex values except infinitely many times.
( 을 제외한 모든 복소수 값을 무한번 취하는 복소지수함수 를 보여라.)
< Hint : For any nonzero complex number , show that is one value of such that >
(0이 아닌 복소수 일 때, 에 대하여 는 하나의 값임을 보여라. )
0이 아닌 복소수 일 때, 라고 가정하자.
이므로
,
이므로 ,
그러므로 복소수 일 때, 에 대해
또는
는 하나의 값을 가진다.
g. Use hand calculation to find all real solutions of the trigonometric equation
Then use mathematical software or hardware with symbolic algebra capabilities to solve this equation. Explain the output.
(삼각함수 의 실수해를 손으로 풀이해 보자. 그리고 이 방정식을 풀기 위해 상징적 대수 능력을 가진 수학 소프트웨어나 하드웨어를 사용하여라. 산출값을 설명하여라.)
로 치환하면
<오일러 공식의 변형>
오일러 공식(Euler's formula)은 즉시 지수함수와 통상적인 삼각함수들은 연결시킨다.
모든 실수 에 대해
위의 두 식으로부터 다음을 얻을 수 있다.
따라서 자연스럽게 복소 변수 에 관한 사인 함수와 코사인 함수를 다음과 같이 정의하며, 이런 관계를 ‘삼각함수에 관한 오일러의 공식’ 이라고 부른다.
h. What conclusions can you draw from parts d-g about using a symbolic algebra facility to solve equations?
(방정식을 풀기 위해 상징적 대수능력을 이용하여 parts d-g를 그리면서 어떤 결론을 도출할 수 있는가? )
4. 7차 교육과정에서 다루어지고 있는 문제들
1. (수학 10- 가) 복소수의 뜻과 성질
(1) 3은 복소수인가? (복소수가 아니다)
(2)
<풀이>
()
(3)
<풀이>
2. (수학 10- 나) 삼각방정식
삼각방정식 을 풀어라. (단, )
<풀이> 공식 을 이용하여
,

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