[공통수학] Ⅵ. 지수와 로그

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목차

단원 Ⅵ. 지수와 로그
[공통수학]

제1장. 지수
§1. 거듭제곱과 거듭제곱근
§2. 지수의 확장

제2장. 로그
§1. 로그의 정의
§2. 로그의 성질

제3장. 상용로그
§1. 상용로그의 지표와 가수
§2. 로그 계산

제4장. 지수‧로그함수
§1. 지수‧로그함수
§2. 지수함수와 로그함수의 최대, 최소

제5장. 지수‧로그방정식
§1. 지수방정식
§2. 로그방정식

제6장. 지수‧로그부등식
§1. 지수부등식
§2. 로그부등식
§2. 지수‧로그의 대소 비교

본문내용

함수의 역함수는 로그함수이고, 로그함수의 역함수는 지수함수이다.
서로 역함수이므로 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
【ex. 2】다음 함수의 그래프를 그려라.
(1) (2)
(풀이) (1) 이므로
의 그래프는 의 그래프를
축에 따라 2만큼, 축에 따라 만큼 평행
이동한 것이다.
(2) 에서 대신 를, 대신
를 대입해도 같은 식이 되므로 그 그래프
는 의 그래프를 축, 축, 원점에
대하여 대칭이동한 것과 같다.
§2. 지수함수와 로그함수의 최대, 최소
그래프에 의한 최대, 최소
함수 의 그래프에서 이면 증가함수이고,
이면 감소함수임을 이용하여 최대값과 최소값을 구한다.
【ex. 1】(1)에서 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(2)에서 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(풀이) (1) 에서 ()이므로
의 최대값은 (), 최소값은 ()이다.
지수의 밑 2가 1보다 크므로 이 함수는 증가함수이다.
따라서, 의 최대값은 이고, 최소값은 이다.
(2) 에서 ()이므로
의 최대값은 (), 최소값은 ()이다.
로그의 밑은 1보다 작으므로 이 함수는 감소함수이다.
따라서, 의 최대값은 이고, 최소값은 이다.
치환에 의한 최대, 최소
또는 등을 여러 개 포함하는 식의 최대, 최소는 또는
로 치환한다. ( 이 때, 임에 유의한다. )
【ex. 2】(1) 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(2) 의 최대값과 최소값을
구하여라.
(풀이) (1) 에서 로 놓으면
한편, 이므로
일 때 최대값 , 일 때 최소값
(2) 에서
[ ]
로 놓으면
한편, 이므로
일 때 최대값 , 일 때 최소값
제5장. 지수로그방정식
§1. 지수방정식
지수방정식의 해법
(1) 항이 두 개인 경우
① 밑이 같을 때 : 꼴로 정리한 다음,를 푼다.
(단, )
② 밑이 다를 때 : 꼴로 정리한 다음, 양변에 로그를 취하여 푼다.
(2) 항이 세 개인 경우
로 치환하여의 정방정식을 푼다. 이 때,임에 유의한다.
【ex. 1】다음 방정식을 풀어라.
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 에서
(2) 에서
(3) 에서
(ⅰ) 일 때,
(ⅱ) 일 때, 준식에서 이므로 만족시킨다.
【ex. 2】다음 방정식을 풀어라.
(1) (2)
(풀이) (1) 에서
로 놓으면 이고,
(2) 에서
로 놓으면 이고,
§2. 로그방정식
로그방정식의 해법
★ 로그방정식은 로그조건부터 생각하고, 풀기 시작한다.
(1)의 꼴 또는의 꼴로 정리하여
⇔
⇔ (단, )
(2)로 치환한다.
(3) 양변의 로그를 취한다.
【ex. 1】다음 방정식을 풀어라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) 로그 조건에서
에서
(2) 로그 조건에서
에서
(3) 에서
(4) 에서 로 놓으면
【ex. 2】다음 방정식을 풀어라.
(1) (2)
(3)
(풀이) (1) 양변의 상용로그를 취하면
(2) 양변의 상용로그를 취하면
그런데 이므로
(3) 이므로 로 놓으면
제6장. 지수로그부등식
§1. 지수부등식
지수부등식의 해법
지수방정식과 해법은 같으나, 밑과 지수의 대소 관계에 유의한다.
(ⅰ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 그대로)
(ⅱ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 반대로)
(ⅰ) 일 때, (ⅱ) 일 때,
【ex. 1】다음 부등식을 풀어라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) 에서
(부등호 방향 그대로)
(2) 에서 (부등호 방향 반대로)
(3) 양변의 상용로그를 취하면
(4) 로 놓으면
이므로
【ex. 2】을 만족시키는 의 정수값을 구하여라.
(풀이) 주어진 식의 각 변의 상용로그를 취하면
따라서, 구하는 의 정수값은 이다.
§2. 로그부등식
로그부등식의 해법
★ 로그부등식도 로그조건부터 생각하고, 풀기 시작한다.
로그방정식과 해법은 같으나, 밑과 지수의 대소 관계에 유의한다.
(ⅰ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 그대로)
(ⅱ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 반대로)
(ⅰ) 일 때, (ⅱ) 일 때,
【ex. 1】다음 부등식을 풀어라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) 진수는 양이어야 하므로 ①
에서 ②
따라서, 구하는 해는 ①, ②의 공통범위로 이다.
(2) 진수는 양이어야 하므로 ①
에서
②
따라서, 구하는 해는 ①, ②의 공통범위로 이다.
(3) 로 놓으면 에서
(4) 양변의 상용로그를 취하면
【ex. 2】다음 부등식을 풀어라.
(1) (2)
(3) (4)
(풀이) (1) 진수는 양이어야 하므로 ①
에서
②
따라서, 구하는 해는 ①, ②의 공통범위로 이다.
(2) 진수는 양이어야 하므로 이고, 양변의 밑이 인 로그를 취하면
이고, 이므로
(3) 진수는 양이어야 하므로 ①
주어진 로그의 밑을 로 바꾸면 에서
②
따라서, 구하는 해는 ①, ②의 공통범위로 이다.
(4) 진수는 양이어야 하므로
에서
§2. 지수로그의 대소 비교
지수로그의 대소 비교
(1) 지수의 대소 비교
(ⅰ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 그대로)
(ⅱ) 일 때, ⇔ (부등호 방향 반대로)
(2) 로그의 대소 비교
(ⅰ) 일 때, ⇔ (부등호 그대로)
(ⅱ) 일 때, ⇔ (부등호 반대로)
【ex. 1】의 대소를 비교하여라.
(풀이) 을 각각 6제곱하면 (은 의 최소공배수)
【ex. 2】일 때, 다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) (2)
(풀이) (1)이므로 과 의 대소를 비교한다.
곧, 이므로 지수가 큰 쪽의 값이 작다.
이므로 ＜ 곧,
(2) 이므로 의 대소를 비교한다.
이므로 지수가 큰 쪽의 값이 크다.
이므로 곧,
<참고> 지수함수의 그래프를 그려서 함수값을 비교해도 좋다.
이 때, 인지, 인지를 잘 구별하여야 한다.
【ex. 3】다음 두 수 또는 세 수의 대소를 비교하여라.
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 각각 상용로그를 취하면
(2) 이므로 진수가 큰 쪽의 값이 작다.
이므로
(3) 각 변의 상용로그를 취하면
【ex. 4】일 때, 다음 세 식의 대소를 비교하여라.
(풀이) 라 하면
,
(ⅰ) (산술평균)(기하평균)에서 이므로
(단, 등호는 일 때 성립)
(ⅱ) B, C의 진수의 크기를 비교하면
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 (단, 등호는 일 때 성립)

키워드

공통수학,   지수,   로그,   수학,   거듭제곱,   함수