점화식정리

본문내용

구하면
결국, 방법의 수가 인 각 방의 이름을 이라 할 때, 로 가려면 또는 의 두 가지 방법이 있으므로
크기가 같은 정사각형의 타일이 흰색, 검은색 2가지 있다. 이를 이용하여 개를 가로로 배열할 때의 경우의 수를 이라 한다. 단, 왼쪽 끝은 흰색이고 검은색 타일은 서로 이웃하지 않는다. 예를 들어 아래 그림처럼 이다.
다음 물음에 답하여라.【Type 6-2】
(1) 를 구하여라.
(2) 인 것을 증명하여라
(3) 을 구하여라
(풀이) (1)
(2) 의 각 경우에 대하여 그 오른쪽 끝에 번째의 흰색 타일을 배열할 수 있다. 오른쪽 끝의 번째에 검은색 타일을 배열할 수 있는 것은 번째가 흰색 타일일 때이고, 그것은 개의 타일을 배열하는 방법 와 같다.
(3) … ①
한편, 에서
… ②
①, ②에서
를 두 근으로 하는 2차방정식은
∴
ⅰ) 일 때
∴
ⅱ) 일 때
위와 같은 방법으로
∴
④③ ;
∴
어떤 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세 가지 상태의 a, b, c로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용된다고 하자.
규칙 1: 에너지가 증가하면 b상태의 전자는 c상태로 올라가고, a상태의 전자 중 일부는 b상태로, 나머지는 c상태로 올라간다.
규칙 2: 에너지가 감소하면 b상태의 전자는 a상태로 내려가고, c상태의 전자 중 일부는 b상태로, 나머지는 a상태로 내려간다.
<단계 1>에서 전자는 a상태에 있다. 에너지가 증가하여 <단계 2>가 되면 이 전자는 b상태 또는 c상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는 변화의 경로는 a→b 와 a→c의 2가지이다. 다시 에너지가 감소하여 <단계 3>이 되면, 이 때까지의 가능한 변화 경로는 a→b→a, a→c→b, a→c→a의 3가지이다.
이와 같이, 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때, <단계 1>부터 <단계 7>까지 이 전자의 가능한 변화 경로의 수는? 【Type 6-2】
(풀이) <단계 1>에서 <단계 n+1>까지 상태 변화의 경로의 수를 이라고 하자.
증가하는 경우에 <단계 n+2>의 c가 되는 것은 <단계 n+1> 의 a, b 어느 경우나 가능하므로 그 경우의 수는
<단계 n+2>의 b가 되는 것은 <단계 n+1>의 a일 때만 가능하고 이것은 <단계 n>의 어느 경우나 가능하므로 가지
즉,
감소하는 경우도 같은 방법으로 생각할 수 있다.
이므로
수열이 을 만족할 때, 오른쪽 그림을 이용하여 과 같은 것을 고르면?【Type 6-2】
①
②
③
④
⑤
(풀이) 오른쪽 그림의 각 부분의 넓이를 A, B, C, D라 하면
이므로
이므로
이므로
따라서 은 직사각형의 넓이와 같다.
이 때, 가로의 길이는 이고, 세로의 길이는 이므로
이차방정식 의 두 근을 라 하고, 자연수 에 대하여 으로 된 수열을 이라 하자. 이 수열의 제 50항을 5로 나누었을 때의 나머지를 구하면?【Type 6-2】
(풀이) 의 두 근이 이므로
,
①의 양변에 각각 을 곱하여 정리하면
,
이므로
또, 근과 계수와의 관계에서 이므로
따라서, 수열 을 점화식으로 나타내면
결국, 수열 은
와 같으므로 을 로 나눈 나머지로 된 수열은
와 같이 주기적으로변한다.
따라서, 을 로 나눈 나머지는 를 로 나눈 나머지와 같으므로 이다.
수열 이 을 만족시킨다. 무한급수 의 합은?【Type 6-2】
(풀이) 이라고 가정하면,
이므로 이다.
한편,
<참고> 일반항을 부분분수로 분리하여 계산
(별해) 피보나치 수열을 이용하여 풀이
수열 , 이 다음 관계식을 만족한다.
,
이 때, 의 값은? (단, )【Type 7】
(풀이) 이고 즉,
이므로 ①에서
이것과 ①을 ②에 대입하면
즉,
따라서
농도가 다른 소금물이 A그릇에 , B그릇에 이 들어있다.
동시에 씩 퍼내어 서로 교환하여 섞는 시행을 회 반복한 후, 그릇 A의 소금물의 농도를 , 그릇 B의 소금물의 농도를 이라 하면,
이 성립한다. 의 값은?【Type 7】
(풀이) (%)의 소금물 과 (%)의 소금물 을 섞었을 때 소금의 양은
따라서, 회 시행한 후의 A그릇의 소금물의 농도는 이고
한편, 같은 방법으로
①, ②에서
A그릇과 B그릇에 농도가 5%인 소금물과 3%인 소금물이 각각 씩 들어 있다. A, B 두 그릇에서 동시에 의 소금물을 퍼내어 서로 바꾸는 시행을 회 반복했을 때, A그릇과 B그릇의 소금물의 농도(%)를 각각 이라 하면 다음 설명 중 옳지 않은 것은?【Type 7】
① 시행을 거듭할수록 의 값은 작아진다.
② 시행을 거듭할수록 의 값은 커진다.
③ 시행을 아무리 거듭해도 의 값은 일정하다.
④ 무한히 시행을 거듭하면 A그룻의 농도는 %이다.
⑤ 시행을 거듭할 때, 일정횟수를 넘어서게 되면 이다.
(풀이) 회 시행 후의 A그릇과 B그릇의 소금물의 농도 을 회 시행 후의 각각의 소금물의 농도 으로 나타내어 보자.
에서 이므로
(일정)
에서 이므로
③, ④에서
즉, 은 단조감소, 은 단조증가 한다.
한편, , 즉 모든 에 대하여
또한,
세 문자 a, b, c를 가로로 개 쓴 것을 길이의 단어라고 부른다.
(단, ) 예컨대, abba, baca, caab는 각기 길이 의 다른 단어이다.
길이 인 단어 중에서 a를 홀수개 가진 것의 수를 으로, 나머지 것의 수를 으로 나타낸다. 을 구하여라.【Type 7】
(풀이) 길이 인 단어의 오른쪽 끝 옆에 개의 문자 를 이어 길이 인 단어를 만든다. 이 방법으로 길이 인 단어는 모두 만들어진다.
1) 를 홀수개 가진 길이 인 단어에 위의 로서 b또는 c를 고르면,
를 홀수개 가진 길이 인 단어가 가능하다.
또, 를 짝수개 가진 길이 인 단어에 위의 로서 를 고르면,
를 홀수개 가진 길이 의 단어가 가능하다.
2) 1)과 같은 방법으로
에서
③, ④에서
그림과 같이 화살표 방향으로만 움직일 수 있는 도로망이 있다. 점 에서 까지 갈 수 있는 모든 방법의 수를 이라고 할 때, 다음 중 옳은 것은?
【Type 8】
①
②
③
④
⑤
(풀이)
으로 정의된 수열 이 있다.
이 때, 과 같은 것은?【Type 11】
① ② ③
④ ⑤
(풀이) 에서
①에 대신 을 대입하면
①-②을 하면
즉,

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점화식,   수학,   수학공식