수학교육에 대한 기본 관점

목차

Freudenthal(1905-1990)의 수학교육에 대한 기본 관점

수학화의 의미

수학화의 여러 측면

수학화와 수학적 활동

수학화의 예

수학화 학습 지도 원리

수학화 교수 학습 이론의 의의

본문내용

Freudenthal(1905-1990)의 수학교육에 대한 기본 관점
1968 'Why to teach mathematics so as to be useful?
수학화의 의미
현상(현실의 한 영역 또는 수학 그 자체)을 수학적 수단에 의해 조직하는 것
수학화 과정
한 수준에서의 정리 수단인 본질이 그 다음 수준에서는 현상, 곧 연구의 대상이 되는 과정을 통해서 수준의 상승이 일어나는 불연속적 과정
수학화의 여러 측면
수학화와 수학적 활동
정의하기
내포적 방법 : 개념이 적용되는 대상들의 공통된 성질을 사용하여 정의하는 방법(논리적 정의)
외연적 방법 : 그 개념에 속하는 대상 전체로 정의하는 방법
예 : 1, 2, 3,...과 같은 수를 자연수라고 한다.
유리수를 동치류로 정의, 함수를 곱집합의 부분집합
으로 정의
발생적 정의 : 정의될 대상의 발생 조건 또는 과정으로 나타내는 방법
예 : '원뿔은 직각삼각형의 직각을 낀 한 변을 축으로 1회전했을 때 생기는 입체도형이다.'
귀납적 정의 : 최초의 원소와 그 다음 원소를 정하는 규칙을 제공하는 방법
예 : 수열의 점화식
도식화
통찰에 의해 획득된 지식을 체계적으로 조작하고 표현하는 방법을 찾고 현실에 대한 단순화, 이상화된 모델을 찾아나가는 과정
예: Archimedes의 구분 구적법을 이용한 넓이, 부피 계산
Newton과 Leibniz에 의한 미적분
형식화
발견된 내용을 수학적으로 적절하게 표현하기 위해 언어를 손질하고 조정하고 변형시키는 과정
알고리즘화
알고리듬: 어떤 형태의 문제를 해결하는 특수한 과정. 특히, 몇 가지 기본 과정을 되풀이하는 방법.
예 : 6394 12
일반화
귀납에 의한 일반화 : comprehension
패러다임을 통한 아하 경험(Aha experience)에 의한 일반화 : apprehension
국소적조직화
공리에서 출발하는 것이 아니라 참이라고 인정되는 사실들로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것
수학화의 예
* 공간의 여러 가지 형상을 도형으로 파악하는 것은 공간의 수학화
* 여러 가지 법칙에 따른 자연계의 양의 변화관계를 함수로 파악하는 것은 현실 세계의 수학화
* 미시적인 경제현상이나 파동, 전파와 같은 물리현상을 수학적으로 해석하는 수학화
* 기하를 대수적 방법으로 다루는 것은 기하를 대수화하는 수학화
수학화를 통한 수학 교수 학습
수학화 학습 지도 원리
학생들은 교사들의 안내 하에 수학화의 경험을 통해 수학이 발명된 과정에 유사한 하나의 과정을 경험할 기회를 가져야 함
Socrates이후의 발생적 원리(심리 발생 + 역사 발생) : 기성 수학을 발생 상태의 수학 또는 실행 수학으로 불리는 활동으로서의 수학으로 학습시키려는 것이며 활동을 배우는 최선의 방법은 그것을 직접 수행해보는 것
역사 발생을 패러다임으로 개선된 방법에 의한 재창조 : 아동의 정신적 발달은 역사를 그대로 재현하는 것이 아니라 아동의 현실을 출발점으로 해서 이미 발명된 수학을 아동 스스로 개선된 방법에 의해서 재창조해 나간다
재발명의 방법을 두둔하는 교육적 논의의 근거 :
첫째, 학습자 자신에 의해 획득되는 능력과 지식은 다른 사람에 의해 부과되는 것보다 파지가 용이하고 전이가 잘 이루어진다.
둘째, 발명은 즐거운 것이고, 따라서 재발명에 의한 학습은 동기를 부여한다.
셋째, 재발명 학습은 인간 활동으로서의 수학, 즉 수학화하는 태도를 길러 준다.
van Hiele의 수학 학습 수준 이론 :거시적
0수준
1수준
2수준
3수준
4수준
대상
주변대상
도형
성질
명제
관계
수단
도형
성질
명제
관계
van Hiele의 수학 학습 수준 이론의 요지
① 학생들은 수학 학습에서 n-1 수준을 통과하지 않고 n 수준에 도달할 수 없으며 수학적 사고는 모든 수준을 차례로 거쳐 발달한다.
② 앞 수준의 사고에서 내재적(수단)이었던 것이 그 다음 수준에서 사고의 대상이 되어 명확히 인식하게 된다. 각 수준의 수학적 사고는 바로 앞 수준의 수학적 사고의 내적 질서(수단)를 대상으로 하여 연구하는 것이다.
③ 각 수준은 그 수준에 고유한 언어적 상징과 이를 연결하는 관계망을 갖고 있다.
④ 서로 다른 수준에서 추리하는 사람은 서로를 이해할 수 없다. 이러한 의사소통의 문제가 교사와 학생 사이에 자주 발생하여 학습-지도를 어렵게 만드는 요인이 되고있다.
⑤ 모든 학생들이 같은 속도로 각 수준을 통과하지 않으며, 수준의 이행은 적절한 지도에 의해 촉진될 수도 있고 부적절한 지도 때문에 지연될 수도 있다.
수준 이행을 위한 5단계 교수 학습법
① 정보제공: 자료를 제시받고 필요한 논의를 통해 탐구할 분야에 친숙해지기 위한 활동을 하는 단계. 즉 교사는 본 과제에 대하여 과거에 배운 선행 지식이 무엇인가를 확인하고 학생은 주어진 과제에 대하여 관찰하고 질문하며 앞으로 어떻게 공부할 것인지 그 방향을 얻을 수 있도록 한다.
② 지정된 탐구: 제시된 자료를 통해 학생은 자기 나름대로 과제를 탐구하면서 그 진행방향을 감지하고 탐구 분야의 구조가 점진적으로 파악. 이 때 교사는 제시하는 자료를 학생의 수준에 따라 구분하여 제시한다.
③ 설명: 전 단계에서 발견된 관계를 표현하는 활동을 통해 그를 명확히 하며 전문적인 용어 학습.
④자유로운 탐구 : 여러 가지 해결 방법을 찾아봄으로써 탐구분야의 구조에 정통
⑤ 통합: 학습한 내용을 총괄하고 통합
5단계가 끝나면 학생은 다음 수준으로 넘어갈 준비가 된 셈이다.
Freudenthal의 수준이론 : 미시적
수학의 성장은 수준의 비약 과정
바닥 수준으로부터의 점진적 수학화 강조
수준 상승의 원동력: 반성적 사고
문맥 : 어떤 구체적인 수업과정에서 학생들에게 열려 있는 수학화되어야 할 현실의 영역
수학 현실 세계의 응용(X)
수업에서의 수학화 과정
문맥을 제공하는 방법
놀이동산, 이야기, 프로젝트, 주제, 신문발췌 희곡, 게임, 그래프
수학화 교수 학습 이론의 의의

키워드

수학교육,   실생수학,   기성수학,   Freudenthal,   수학화,   도식화