확률이론

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확률이론에 대한 보고서 자료입니다.

목차

Ⅰ. 확률이론
Ⅱ. 확률분포의 개념
Ⅲ. 이산확률분포
Ⅳ. 연속확률분포

본문내용

P(X＝x)＝0이다.
② 연속확률분포에서의 확률은 어떤 특정한 두 값, 즉 일정구간 사이의 값을 취할 확률로 계산된다. 즉, P(a≤X≤b)는 구간〔a, b〕사이의 확률밀도함수 f(X)와 X축 사이의 면적 이다.
③ 확률밀도함수는 언제나 (＋)값을 갖는다. 즉, f(X)≥0이다.
④ 확률밀도함수 아래에 있는 전체의 면적은 언제나 1.0이다. 즉, P(－∞X≤∞)＝1이다.
2. 균일분포
가장 간단한 분포가 균일분포(continuous uniform probability distribution)이다.
균일 분포의 확률밀도함수
<그림 8-3> 균일 분포의 예 : a＝50, b＝75
3. 정규분포
가우스분포(Gaussian distribution)라고도 불리는 정규분포는 연속확률분포 중에서 가장 널리 이용되는 중요한 분포이다. 정규분포는 표본을 통한 통계적 추정 및 가설검정이론의 기본이 되며, 실제로 우리가 사회적자연적 현상에서 접하는 여러 자료들의 분포도 정규분포와 비슷한 형태를 띠게 되는 것이 보통이다.
정규분포는 정규곡선(normal curve)으로부터 유래한 분포로서 19세기 초 가우스(Karl F. Gauss)가 물리계측의 오차를 계산하는 과정에서 도입된 확률분포이다. 이들 자료의 분포가 이 곡선과 가까운 형태를 지니고 있어야 정상이고, 그렇지 않은 경우에는 자료수집과정에 이상이 있다고 생각했기 때문에, 이 분포에‘정규(normal)’라는 이름을 붙이게 되었다.
그 후 정규분포의 개념은 자연과학뿐만 아니라, 인문사회과학에서도 많이 사용되고 있다. 물론 현실적인 자료가 이론적인 정규분포와 완전히 일치하는 것은 아니지만 정규분포의 형태에 가깝게 나타나므로 이를 자료분석에 이용할 수 있다는 것이다. 정규분포의 개념을 명확히 이해하기 위해 먼저 정규분포의 확률밀도함수에 대해 알아보자.
1) 정규분포의 확률밀도함수
π : 3.1416(원주율 : 상수)
ｅ : 2.7183(상수)
μ : 정규분포의 평균
σ : 정규분포의 표준편차
위 식에서 분포의 평균 μ와 표준편차 σ를 제외하고는 모두 상수이고 X는 확률변수이기 때문에, 정규분포의 모양을 결정하는 것은 분포의 평균과 표준편차 두 요인임을 알 수 있 다. 정규분포공식에서 와 S 대신 μ와 σ를 사용한 것은 이 공식이 하나의 이론적 모 형이기 때문이다.
2) 정규분포의 특성
① 정규분포의 모양과 위치는 분포의 평균과 표준편차로 결정된다.
② 정규분포의 확률밀도함수는 평균(μ)을 중심으로 대칭인 종 모양(bell shape)이다.
③ 정규곡선은 X축에 맞닿지 않으므로 확률변수 X가 취할 수 있는 값의 범위는 －∞ ④ 분포의 평균(μ)과 표준편차(σ)가 어떤 값을 갖더라도, 정규곡선과 X축 사이의 전체 면적은 1이다.
정규분포는 평균과 표준편차에 따라 모양과 위치가 다르기 때문에 두 분포의 성격을 비 교하거나 특정정규분포에서 확률을 계산하기 위해서는, 먼저 모든 정규분포의 평균과 표준편차를 표준화하여 표준적인 정규분포를 만들어야 한다.
3) 표준정규분포
표준정규분포는 모든 정규분포를 평균 μ＝0, 표준편차 σ＝1이 되도록 표준화한 것이 다. 어떤 관찰치 X의 그 분포의 평균으로부터 표준편차의 몇 배 정도나 떨어져 있는가를 다음과 같이 표준화된 확률변수 Z로 나타내기 때문에 표준정규분포를 Z-분포라고도 하다.
<그림-3> 정규분포의 표준정규분포로의 전환
표준정규분포가 중요한 이유는 위 그림에서 보듯이 제각기 다른 정규분포라 하더라도 이 를 표준정규분포로 정규화하였을 경우 Z값이 일치하면 그때의 확률, 즉 그림에서 어두운 부분의 넓이가 모두 같다는 데 있다.
<그림 8-6> 정규분포와 표준정규분포의 관계

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확률이론,   확률,   확률변수,   연속확률,   이산확률