여러가지 분포에 대한 정의 및 예시

목차

□ 정규분포

□ 카이제곱

□ F분포

□ T분포

본문내용

수를 무한히 커지게 뽑으면 그 자료의 분포는 평균이 μ이고 분산이 시그마제곱인 정규분포에 근사하는 것을 볼 수 있다.
□ F분포
○ F분포의 정의
- 우선 X1, X2,....Xn ~ N(μ_x, (sigma_x)^2) Y1, Y2,....Ym ~ N(μ_y, (sigma_y)^2) 라고 할 때,
(여기서 m 과 n 은 다를 수 있다.)
우리는 (1)에서와 같이 Xbar, Ybar, Sx, Sy를 정의할 수 있다.
F = {(Sx)^2/(sigma_x)^2}/{(Sy)^2/(sigma_y)^2} 라고 하면 F는 n-1과 m-1을 자유도로 갖는 F distribution을 따르는 확률변수로 정의된다
출처 : 네이버 지식 검색
http://kin.naver.com/detail/detail.php
?d1id=11&dir_id=110203&eid=ij/tVK/
vYX5snIbMcm0VrZ0I3rMLLP/L&qb
=xKvAzM
- V₁과 V₂를 각각 자유도 k₁, k₂인 카이제곱분포를 따르는 서로 독립인 확률변수들이라 할 때,
F = (V₁/k₁) / (V₂/k₂)
의 분포를 자유도 (k₁, k₂)인 F분포라 한다. 이 때, 기호로서 F ~ F(k₁, k₂) 로 나타낸다.
확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같다면 이 확률변수 X는 자유도가 k₁과 k₂인 F분포를 갖는다고 정의된다.
출처: 수학의 정석(저자 : 홍성대) 네이버블러그 http://blog.naver.com/rosaria924/100022856843
○ 정규분포 예시 문제
A,B 두 원료 공급처에서 구입한 화학제품의 순도를 조사하여 다음 값을 얻었다 A,B 두 회사의 납입품질의 평균치에 차이가 있는가 유의수준 5%에서 검정하라
회 사
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
97.0
97.0
97.0
97.0
97.5
97.6
98.6
97.5
97.0
98.0
B
96.7
97.0
96.3
98.1
96.5
96.8
95.7
95.9
97.3
97.2
⇒ 회사 제품의 평균은 97.51이고 표준편차는 0.54...B회사 제품의 평균은 96.75이고 표준 편차는 0.70 이다. t-검증의 결과는 p=0.015 (유의수준 0.05보다 작다.)이므로 유의수준 5%에서 의미있는 차이가 있다
□ T분포
○ 정규분포의 정의
- 표준정규분포 N(0, 1)을 따르는 확률변수를 Z라 하고, 이와는 독립이며 자유도 k인 카이제곱분포를 따르는 확률변수를 V라 하면,
T = Z / √(V/k)
의 분포를 자유도 k인 t분포라 한다. 이 때, 기호로서 T ~ t(k) 로 나타낸다.
확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같다면, 이 확률변수 X는 자유도가 k인 t분포를 갖는다고 정의된다.
출처: 수학의 정석(저자 : 홍성대) 네이버블러그 http://blog.naver.com/rosaria924/100022856843
○ T분포 예시 문제
자동차의 부동액이 들어있는 용기의 평균 용량은 10 인지 알아보기 위해 10개의 표본 용기의 용량을 측정한 결과 다음과 같은 결과를 얻었다.
10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 9.9 10.4 10.3 9.8
5%유의수준 (a=0.05)에서 평균용량을 10로 볼수있는지에 대해서 검정하라
⇒ n=10, x bar=10.06, s=0.2458545
H0 : μ = 10 , H1 = μ is not equal 10
bar x - μ) / ( s/sqrt(n)) ~ t (n-1) under H0
t star = (10.06 - 10) / (0.2458545/sqrt(10)) = 0.7717436
t(0.025,9) = 2.262157
t star < t(0.025,9) 이므로 do not reject H0
귀무가설은 모평균이 10이다. 대립가설은 10이 아니다 를 각각 나타낸다
따라서 평균용량 10으로 볼수 있다
새로운 전구를 개발하여 판매하는 회사가 있다. 판매되는 전구중 9개를 임의 추출하여 그 수명시간을 기록한 결과가 다음과 같다. T(8)의 95%의 신뢰도로 구간추정 하여라
2000, 1975, 1900, 2000, 1950, 1850, 1950, 2100, 1975
⇒ 특정치에대해서 차이가있다없다(가설검정)에서 μ가 필요한 것이다.
표본평균은 1966.667
표본표준편차는 69.59705
따라서 95%신뢰구간은
1966.667 +- 2.306004*69.59705/sqrt(9)
[1] 2020.164 #95%신뢰구간 상한
[1] 1913.17 #95% 신뢰구간 하한

키워드

정규분포,   카이제곱,   F분포 ,   T분포,   가우스분포,   케틀레곡선,   통계