미적분학 2-7

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미적분학 2-7에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

의 방정식을 수정하여 더 상상의 곡선들을 그려라.
풀이>a) 에서 4개와 에서 4개로 총 8개의 수평 접선이 있다.
b) 이므로
접선의 방정식은 이다.
c)
문제 2-7-18> 연습문제 15의 이엽장미에서 접선이 수평인 점들을 찾아라.
풀이>y'=0일 때 접선이 수평이 되므로
x가 0일때는 y 도 0 이므로 원점에서는 수평 접선이 없다.
대신에 를 원 식 에 대입하면
을 얻는다. (식1)과 (식2)를 풀면
따라서 접선이 수평인 4점은 이다.
문제 2-7-19> 쌍곡선
위의 점 에서 접선의 방정식을 구하여라.
풀이>
점 에서 접선의 방정식은
양변에 을 곱하면 이 된다.
점이 타원위에 있으므로
문제 2-7-20> 음함수 미분법을 이용하여, 중심이 O인 원의 점 P에서 그은 접선의 방정식을 반지름 OP 수직임을 증명하여라.
풀이> 원의 반지름이 r이면 원의 방정식은 이므로 점에서의 접선의 기울기는 이다. 이 기울기의 음의 역수는 OP의 기울기인 이다.
따라서 P에서의 접선은 반지름OP와 수직이다.
문제 2-7-21> 주어진 두 곡선이 직교함을 보여라.
풀이> 는 일 때 서로 교차한다. 그러나 이 음수가 아니므로 는 버린다.
x = 1일 때 이므로 교차점이 로 두 개 있다.
이고
(1, 1) 점에서 기울기는 이다.
가 서로 음의 역수이므로 두 곡선은 직교다.
마찬가지로 (1, -1) 점에서도 두 곡선은 직교한다.
문제 2-7-22> 구릉이 많은 지역의 지도위의 등고선은 같은 높이의 점들을 연결한 곡선이다. 언덕을 따라 구르는 공은 등고선에 수직인 가장 심한 경사의 곡선을 따라 간다. 그림처럼 구릉의 등고선 지도가 주어질 때, 위치 A와 B에서 시작하는 공들의 진로를 스케치 하라.
풀이>
문제 2-7-23~24> 주어진 곡선들은 서로 직교 절선이 됨을 보이고, 곡선군을 그려라.
문제 23>
풀이>는 원점O가 중심인 원이고 는 원점을 통과하는 직선이다.
이므로 점에서의 접선의 기울기는 이다.
직선OP의 기울기는 인데 이는 의 음의 역수이다.
따라서 두 곡선은 직교절선이다.
문제 24>
풀이> 이고
따라서 두 곡선은 직교절선이다.
문제 2-7-25> 방정식 은 ‘회전된 타원’, 즉 그것의 축들이 좌표축과 평행하지 않은 타원을 나타낸다. 이 타원이 x축과 만나는 점들을 구하고, 이 점들에서의 접선들은 평행함을 보여라.
풀이> 타원 이 x축과 만나는 점을 구하기 위해서 y=0으로 놓고 x를 풀면
이다.
따라서 타원의 그래프는 점에서 x축과 만난다.
음함수 미분법을 사용하여 y'을 구하면
이다.
점에서의 이고
점에서의 이다.
따라서 이 점들에서의 접선들은 평행하다.
문제 2-7-26> 접선의 기울기가 -1인 곡선 위의 점을 구하여라.
풀이>
따라서
그러나 이므로 이다.
그러면
따라서 의 경우는 불가능하므로 이다.
x = y 이므로 곡선의 접선의 기울기가 -1인 점은 (-1, -1)과 (1, 1)이다.
문제 2-7-27> 아래 그림은 y축에서 세 단위 오른쪽에 위치한 램프와 타원 영역 에 의해 생성된 그림자를 보여준다. 만약 점(-1, 0)이 그림자의 가장자리에 놓인다면 램프가 x축의 위쪽으로 얼마나 멀리 떨어져 있는가?
풀이>
h를 램프의 높이라고 하고, 점(a, b)를 점(3, h)와 (-5, 0)를 지나는 직선과의 접점의 위치라고 하자. 이 직선의 기울기는 이다.
그러나 점(a,b)를 지나는 접선의 기울기는또는 [직선이 (-5,0)과 (a,b)를 지나므로]로 표현된다.
따라서 이다.
그러나 (a,b)가 타원상의 점이므로 이고, 그래서
그래서 [접점이 타원의 위쪽 반원에 있으므로]
그러므로
따라서 램프는 x축에서 2 단위 위쪽에 위치한다.

키워드

미적분학,   미분,   적분