미적분학 2-6

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미적분학 2-6에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

f'(x)를 구하여라.
b) f와 f'의 그래프를 비교하여 (a)에 대한 답이 합당함을 점검해 보아라.
풀이> a)
b) f 그래프의 모든 접선은 마이너스 기울기를 가지므로 언제나 f'(x)< 0 이다.
문제 2-6-26> 함수 에 대하여 수평 접선을 갖는 점을 모두 구하여라.
풀이> 접선이 수평기 위해서는 f'(x) = 0 이다.
따라서
이제
곡선위의 수평 접선의 점은 이다. (n은 정수)
문제 2-6-27> 이고 이라고 할 때 을 구하여라.
풀이>
따라서
문제 2-6-28> f, g, f', g' 의 값이 아래 표에 주어져 있다.
x
f(x)
g(x)
f'(x)
g'(x)
1
3
2
4
6
2
1
8
5
7
3
7
2
7
9
a) h(x) = f(g(x)) 일 때, h'(1)을 구하여라.
b) H(x) = g(f(x)) 일 때 , H'(1)을 구하여라.
풀이>a)
따라서
b)
따라서
문제 2-6-29> f와 g가 그래프가 아래와 같이 주어진 함수이다. u(x)=f(g(x)), v(x) = g(f(x)), w(x) = g(g(x))라 하자. 존재하면 각각의 도함수를 구하여라. 존재하지 않으면 이유를 설명하여라.
a) u'(1)
b) v'(1)
c) w'(1)
풀이>a)
따라서
f'(3)을 구하기 위해서 f가 (2,4)에서 (6,3)까지 선형임을 주목하면
이것의 기울기는 이다.
g'(1)을 구하기 위해서 g가 (0,6)에서 (2,0)까지 선형임을 주목하면
이것의 기울기는 이다.
따라서
b) 이다.
따라서 인데
g'(2)가 존재하지 않으므로 v'(1)도 존재하지 않는다.
c) 이다.
따라서 이다.
g'(3)을 구하기 위해서 g가 (2,0)에서 (5,2)까지 선형임을 주목하면
이것의 기울기는 이다.
따라서 이다.
문제 2-6-30> 다음 표를 이용해 h(x)=f(g(x))일 때 , h'(0,5)의 값을 구하여라.
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
f(x)
12.6
14.8
18.4
23.0
25.9
27.5
29.1
g(x)
0.58
0.40
0.37
0.26
0.17
0.10
0.05
풀이>
따라서 이다.
두 할선의 기울기를 평균 냄으로서 도함수를 추정할 수 있다.
따라서
결국
문제 2-6-31> f는 R에서 미분가능하다고 하자. 이고,
라 할 때,
a) 와
b) 를 구하여라.
풀이>a)
b)
문제 2-6-32> L이 을 만족하는 함수라 하자. 다음 각각의 함수의 도함수에 대한 표현식을 구하여라.
a)
b)
c)
d)
풀이>a)
b)
c)
d)
문제 2-6-33> 진동하는 현 위의 물체의 변위가
(s와 t는 각각 cm, 초이다.)
로 주어진다. t초 후의 물체의 속도를 구하여라.
풀이>이므로
문제 2-6-34> 케페우스 변광성은 별의 밝기가 교대로 증감하는 별이다. 이러한 별 중 가장 쉽게 볼 수 있는 별은 델타 케페우스로 최대 밝기 사이의 시구간은 5.4일이다. 이 별의 평균 밝기는 4.0이고, 이것의 밝기에 대한 변화량은 ± 0.35이다. 이러한 자료에 근거하여 델타 케페우스의 밝기는 시각 t(일)에서 함수
로 모형화되어 왔다.
a) t일 후 밝기의 변화율을 구하여라.
b) 1일 후 증가율을 소숫점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구하여라.
풀이> a)
b) 1에서
문제 2-6-35> 컴퓨터 대수계는 함수를 미분하는 명령어를 가지고 있지만, 답의 형태는 편리하지 않을 수 있다. 따라서 해를 단순화하기 위해서는 또 다른 명령어가 필요할 수 있다.
a) CAS를 이용해 예제5의 도함수를 구하고, 그 예제에서의 답과 비교해 보아라. 그런 후 단순화 명령어를 이용하고 다시 비교하여라.
b) CAS를 이용해 예제6의 도함수를 구하여라. 단순화 명령어를 이용하면 어떻게 되는가? 만약 인자 명령어를 이용하면 어떤가? 어떤 형태의 답이 수평접선을 그려넣는 데 가장 좋은가?
풀이>a) 도함수는 로 단순화 없이 나타내 준다.
Maple이나 Mathematica로는 우리는 먼저 을 얻고 단순화 명령으로 위의 표현식을 얻는다.
b) 도함수는 로 단순화 없이 나타내준다.
Maple이나 Mathematica로는 우리는 먼저
을 얻는다.
Mathematica의 인자명령 또는 단순화 명령이나, Maple의 인자명령을 사용하면 위의 표현식을 얻는다. 그러나 Maple의 단순화명령은 다항식 전개를 나타내준다. 수평 접선의 위치를 구하는 경우에는 인자 명령 형태가 가장 유용하다.
문제 2-6-36> 연쇄법칙을 이용하여 다음을 증명하여라.
a) 우함수의 도함수는 기함수이다.
b) 기함수의 도함수는 우함수이다.
풀이> a) 만약 f가 우함수이면 f(x) =f(-x) 이다. 연쇄법칙을 수식에 적용하면
즉 이므로 f'은 기함수이다.
b) 만약 f가 기함수이면 f(x) = -f(x)이다. 이 식을 미분하면
이므로 f'은 우함수 이다.
문제 2-6-37> a) n이 양의 정수일 때,
임을 증명하여라.
b) (a)에서와 같이 의 도함수에 대한 공식을 구하여라.
풀이> a) [곱의 법칙]
[항 추출]
[cosine 덧셈 식]
[x 항 추출]
b) [곱의 법칙]
[항 추출]
[sine 덧셈 식]
[x 항 추출]
문제 2-6-38> 연쇄 법칙을 이용해, 만약 θ가 도수로 측정되면,
임을 보여라(이것은 미적분학에서 삼각함수를 다룰 때, 항상 래디안을 다루는 것이 편리함을 보이는 것 중의 하나이다. 만일 라디안 대신에 도를 사용한다면 미분공식이 간단치 않다.)
풀이>이므로
문제 2-6-39> P와 Q를 다항함수라 하고 n을 양의 정수라 하자. 수학적 귀납법을 이용해 유리함수 의 n계 도함수는 분모가 인 유리함수로 표현될 수 있음을 증명하라. 다시 말하면, 이 되는 다항함수 이 존대한다.
풀이>먼저 다항함수의 곱과 차는 다항함수이고 다항함수의 도함수도 역시 다항함수임을 상기하자. n = 1 일 때
이다.
이 결과가 일 때 맞는다고 가정 하자.
그러면 이고, 따라서
n=1에 대해서 식이 성립하는 것을 보였고 n=k 일 때 성립하면 n=k+1일 때도 성립한다.
그러므로 수학적 귀납법에 의해서 위 식은 모든 양의 정수n에 대해서 성립한다.

키워드

미적분학,   미분,   적분