NA3 수치해석 연습문제

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본문내용

10.3 system은 다음과 같다.
LU분해는 다음과 같이 이뤄진다.
일단 이다. 행연산을 수행하면 다음과 같다.
따라서 를 결정할 수 있고 이다. 행연산을 다시 수행하면 다음과 같이 L과 U를 결정할 수 있다.
마지막으로 확인해보면 다음과 같다.
10.8 a)System은 다음과 같다.
cholskey 분해는 모양으로 분해하는 것이다. L은 하부삼각행렬이고, 이 때 각 성분은 다음과 같이 주어진다.
따라서 분해를 수행하면 다음과 같다.
최종적으로 얻는 하부삼각행렬 L은 다음과 같다.
b) chol 함수를 사용해서 확인하면 다음과 같이 나온다.
즉 우리가 구한 L의 transpose 형태가 chol 함수를 사용한 결과이고, 따라서 cholskey decomposition이 맞다는 것을 알 수 있다.
c)해를 구하는 과정은 다음과 같다.
이다.
따라서 는 로 쓸 수 있다. 따라서 인 y를 먼저 구한 후에 를 만족하는 x를 구하면 답을 구할 수 있다.
전진대입 단계인 를 먼저 보자. 이는 다음과 같이 써진다.
주어진 방정식은 전진대입을 사용해서 쉽게 풀 수 있고, 다음과 같이 결과가 나온다.
즉 이다.
후진대입 단계를 보자. 를 쓰면 다음과 같다.
풀면 다음과 같다.
즉 해는 다음과 같다.
11.1
system은 다음과 같다.
위에서 구한 LU분해를 이용하자.
역행렬을 LU분해를 이용해서 구하는 방법은 다음과 같다.
각 단계를 계산해보자.
따라서 이다.
물론 자명하게 이다.
11.12 a) system은 다음과 같다.
가우스 소거법을 이용해서 역행렬을 구하면 다음과 같다.
해를 구하면 다음과 같다.
b) 의 조건을 두고 을 바꾸는 문제이다.(편의상 우변 벡터의 각 성분을 로 쓰겠습니다.)
각각의 경우를 부등식으로 생각하면 된다.
즉 Powell 호수의 유입량이 452.775보다 줄어들면 주어진 조건을 만족시킬 수 있다.
c) 열-합 놈은 norm으로, 계산 방법은 이다.
조건수는 이다.
따라서 열-합 놈을 사용한 조건수는 8.6353이다.
자릿수의 정확도를 계산할 때 를 만족하는 c가 존재할 때 c자리만큼의 유효숫자가 의심스러워진다.
이 때 이므로 약 1개의 의심스러운 자릿수가 생긴다.

키워드

수치해석 연습문제,   행연산,   하부삼각행렬,   가우스 소거법