인하대 모의 논술고사

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인하대 모의 논술고사

본문내용

다고 믿었던 사람들에게 그것은 큰 충격이었다. 왕권이 실추되면서 신하나 백성들은 피라미드를 만드는 대신, 자신의 손으로 영생을 얻기 위한 길을 찾으려 하였다.
(나)
세계 7대 불가사의 중의 하나인 기자에 있는 쿠푸 왕의 피라미드에는 황금비가 숨어있다. 기원전 2650년 경 지어졌다고 추측되는 이 피라미드로부터 당시 이집트 인들이 황금비의 값을 알고 있었다고 조심스럽게 가정할 수 있다. 이집트 정부가 1925년 최종적으로 내놓은 보고서에 따르면 쿠푸 왕의 피라미드의 크기는 다음과 같다.
[쿠푸 왕의 피라미드의 크기]
방향
길이 (m)
방향
북
230.24
남서 2' 28"
동
230.39
북서 5' 30"
남
230.45
남서 1' 57"
서
230.36
북서 2' 30"
높이
146.60m
북서
북동
남동
남서
89 59' 58"
90 3' 2"
89 56' 27"
90 0' 33"
(다)
피라미드에서는 길이나 넓이의 비가 일정한 값이 되는 경우가 많다. 여러 가지 경우를 계산해보면서 그러한 경우를 조사해보자. 계산을 편리하게 하기 위하여 밑면의 모서리의 길이를 모두 230m라고 하자.
밑면의 모서리의 길이를 , 옆면인 삼각형의 높이를 이라고 하면 이므로 이고 따라서 계산기를 사용하여 구하면
이다. 옆면의 넓이를 계산해보면
로 이 값은 높이의 제곱인 과 거의 같다. 당시의 설계 도면이 전해지지 않아 구체적인 것은 알 수 없지만 앞에서의 계산에 의해 고대 이집트인들은 다음과 같은 원리로 피라미드를 건축하였다고 가정해볼 수 있다.
[가정1] 피라미드의 밑면은 정사각형으로 건축한다.
[가정2] 피라미드 옆면의 넓이는 높이의 제곱과 같도록 건축한다.
【논제1】
[가정2]으로부터 에 관한 방정식을 만들어 값을 구하여라(이 값을 황금비라 부르고 로 표시하자). (15점)
【논제2】
계산을 편리하게 하기 위하여 위에서 알게 된 피라미드에 구현된 각 비율을 이용하여 모서리의 길이를 나타내면, 이므로 로 놓으면 밑면의 모서리의 길이의 절반인 는 황금비 의 역수가 된다. 이를 로 놓자. 즉,
피라미드의 단면에서 높이가 임을 보여라. (15점)
【논제3】
다음은 피라미드의 단면, 옆면, 밑면을 한꺼번에 나타낸 그림이다. 아래 그림에서 타원의 초점의 위치를 추정하여라. (15점)
【논제4】
로 놓았을 때, 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정오각형의 한 변의 길이가 피라미드 옆면의 모서리의 길이와 같음을 추정하여라. 단, 이다. (15점)
【논제5】
정적분을 이용하여 쿠푸 왕의 피라미드의 부피를 구하여라. 단, 크기는 제시문 (다)에 주어진 것을 이용한다. (20점)
<논제해설 및 출제의도>
자연계열의 논술에서는 주어진 자료를 분석하고 수학적, 과학적, 사회적 기본 원리를 논리적으로 추론하는 데 강조점을 두었다. 교과서에서 배운 지식에 기초하여 대상을 분석하고 그 속에서 관계를 추론하며 적절한 모델링을 통해 개별 현상을 합리적으로 분석추론하는 능력을 평가하고자 하는 것이 주된 출제 의도이다.
이러한 맥락에서 과학적 분석과 수학적 추리력을 검증하는 문항을 출제하였으며, 문항의 성격에 따라 관련된 표나 자료 등의 참고자료를 제시하였다. 그러므로 단순한 현상에 대한 수학적 분석을 통해 과학의 기본 원리를 이해하고, 나아가 수리적 사고를 바탕으로 주어진 상황을 포괄적으로 이해할 수 있는 통합적인 능력이 요구된다.
1. 출제 의도
이번 자연계 논술 시험 문제는 다음과 같은 능력들을 측정 하는 데에 중점을 두었다.
주어진 자료를 바탕으로 수치 사이의 관계를 파악하는 능력
고대 건축물의 수치로부터 황금비, 타원, 정오각형 등을 추론하여 건축물의 설계 원리를 유추하는 능력
수식(이차방정식, 제곱근 등)을 필요에 따라 여러 각도에서 변형하고 해석하는 능력
이차방정식 활용 능력
교과서의 적분에서 가장 핵심적인 정적분의 정의를 사용하여 피라미드의 부피를 계산할 수 있는 능력
【논제1】[가정2]로부터 옆면의 넓이는 높이의 제곱과 같으므로 .
이 식에 을 대입하면
이다. 이 값은 황금비가 된다. 즉, 옆면의 높이 과 밑면의 모서리의 길이의 절반 은 황금비를 이룬다. 따라서 당시 황금비 를
로 알고 있었을 것으로 추측된다.
【논제2】피라미드의 단면에서 높이는 이다. 이때, 에서 이므로 즉, 이므로 이다.
한편, 그림에서 어두운 삼각형의 변의 길이를 모두 로 나누면 높이는 , 그런데 이므로
로도 구할 수 있다.
【논제3】타원의 식은 이므로 타원의 단축의 길이는 , 장축의 길이는 이다. 따라서 타원의 초점은 (0, )로 그 위치는 피라미드의 단면인 삼각형에서 길이가 1인 두 변이 만나는 꼭지점이다. 한편, 이므로 초점을 (로 간단히 할 수 있다.
【논제4】어두운 삼각형에서 제2코사인법칙을 사용하면
따라서 정오각형의 한 변의 길이는 로 위의 피라미드 옆면의 모서리의 길이와 같다. 이와 달리 배각공식을 이용해서도 풀 수 있다. 에서 이다. 정오각형의 중심에서 한 변에 수선을 내려면 이므로 , 이다. 이 값은 일 때 와 같다는 것을 확인할 수 있다.
【논제5】밑면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이를 라고 하면 아래 그림에서
이므로 이다. 정적분의 정의에 의하여 피라미드의 부피는
(부피)
이다. 정적분을 이용할 때 교과서에 소개된 대로 (A는 밑넓이)을 먼저 구한 후, 와 를 대입해도 되고 피라미드를 90도 회전하여 축 위에 눕힌 후 적분하여도 된다. 한편, 중학교 때 배운 피타고라스의 정리를 이용하여 피라미드의 부피를 구할 수도 있다.
<제시문 출처>
(가) 김은숙 외, 고등학교 『세계사』, (주)교학사, 2002.
(나) 우정호 외, 『수학 II』, 대한교과서, 2002. p. 158.
(다) 이종호, 「사막에 세워진 대피라미드」, 『과학동아』 2000년 12월호.
(라) 조태근, 『수학 II』, (주)금성, 2002, p. 150.
(마) Col. S. Beard, The Fibonacci Drawing Board- Design of the Great Pyramid of Gizah, The Fibonacci Quarterly, Vol. 6(1968) 66-68.

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