좌표계 제출용

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본문내용

직교좌표계 (rectangular coordinate system)
그림 1 직교좌표계
위치벡터를
r(t) = rxi + ryj + rzk (i, j, k 는 단위벡터)
라 하면, 속도는 위치벡터를 시간에 대해 미분한 것이므로
i, j, k 는 단위벡터이므로 시간에 대해 미분하면 0 이 된다. 그러므로
( )
가속도는 단위시간당 변한 속도의 변화량이므로 속도를 시간에 대해 미분하면
( i, j, k 는 단위벡터이므로 미분하면 0)
( )
2-2) 접선-법선 좌표계 (tangential-normal coordinates)
- 접선-법선 좌표계는 경로가 정의된 경우 사용하면 편리하다.
어떤 질점이 경로 는 단위벡터)를 따라 움직일 때 속도는 경로를 시간에 대해 미분하고 가속도는 속도를 시간에 대해 미분하여 구하면
------(1)
그림 2 접선-법선 좌표계
-----(2)
et 는 시간에 대해 방향만 변한다. 이에 경로평면의 수직인 축(k)을 따라 회전함을 알수 있다. 그러므로
( ※ 정리 2-1 참조 )
위의 식을 (2)에 대입하여 정리하면
-----(3)
(1)식에서 ω를 구하면
(ρ유도공식은 정리 2-2 참조)
위 식을 (3)에 대입하여 정리하면
※ 정리 2-1
한 점을 중심으로 회전하는 벡터의 미분은 각속도와 자신 벡터와의 외적이다.
양변을 시간 t에 대해 미분하면
그림 3
※ 정리 2-2 ( 곡률반경 ρ )
그림 4 곡률반경
ds=ρdθ
△ABC 에서 보면
- (1)
B가 무한히 작아지면 A와 일치하게 되고 선분 AB는 그 점 A or B 에서 그 곡선의 기울기가 된다.
tanθ는 A or B 의 위치에 따라 정해지며, 즉 x성분에 의해 결정된다. 즉 tanθ는 x에 대한 함수가 된다. 점에서의 곡선의 기울기를 구하기 위해서(1)식을 x에 대해 미분하면
∴
그러나 이며,
와 같이 되므로
그러나
∴
∴
2-3) 극좌표계 ( polar coordinates ) - 평면상에서만 가능하다.
그림 5 극좌표계
어떤 질점이 운동할 때 기준선과 기준점을 정하자. 기준점에서 그 질점까지의 위치벡터를 라고 하자. 속도와 가속도를 구하면
과 같이 된다.
2-4) 원통좌표계 (Cylinderical Coordinates)
원통좌표계는 극좌표계의 공간상의 형태이다. 임의의 질점의 위치벡터를 이라고 하면 는 b(t) 와 z(t) 의 벡터합으로 나타낼수 있다.
속도와 가속도를 구하면 다음과 같다.
그림 6 원통좌표계

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좌표계제출용,   좌표계의 종류,   극좌표계