미시경제학을 위한 경제수학 요약

본문내용

대상
독립변수: 최적화를 위해 크기를 선택할 수 있는 변수, 선택변수(choice variables)
최적화문제의 핵심은 목적함수의 극값을 가져다주는 선택변수의 값을 찾는 것
이윤극대화를 위해 생산량 Q의 수준을 선택
나. 상대적 극대 및 극소
의 다양한 형태
상수함수: y를 극대화 혹은 극소화하는 문제가 큰 의미가 없음
강증가함수
정의역이 비음의 실수일 경우 극대값은 없음
좌측의 끝점은 치역에서 절대적 극점(absolute extreme or global extreme)
일반적인 함수 형태
상대적 극점(relative extreme or global extreme) 존재
상대적 극점; 그 점의 근방에서 극값이 된다는 의미
절대적 극점일 수도 있으나 그렇지 않을 수도 있음
최적화 문제에서 주요 관심: 극점
정의역이 비음의 실수이기 때문에 대체로 끝점은 선택변수가 0인 경우가 대부분임
따라서 관심의 대상이 되지 않음
상대적 극점에 대해 주요 논의
특정 정의역 하에서의 최적화 문제를 다루는 경우가 많기 때문임
단, 절대적 극점에 관심이 없다는 것은 아님
다. 1계도함수 검증법
1계도함수(1st-order derivative):어떤 함수의 도함수
함수의 극값 탐색에서 1계도함수의 역할
극점에서 곡선의 기울기는 0이 됨
은 상대적 극점의 필요조건
상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법
만약 에서 함수 의 1계도함수 이면, 에서 함수의 값 은
만약의 왼쪽에서 오른쪽으로 넘어오면서 1계도함수의 부호가 +에서 -로 변하면 상대적 극대가 됨
만약의 왼쪽에서 오른쪽으로 넘어오면서 1계도함수의 부호가 -에서 +로 변하면 상대적 극소가 됨
만약의 왼쪽과 오른쪽의 1계도함수 부호가 동일하면 극대도 극소도 아님
일 때 용어 정리
은 의 임계값(critical value)
은 함수 f의 정지값(stationary value)
좌표 은 정지점(stationary point)
이 상대적 극값의 충분조건이 아닌 이유: 변곡점(inflection point)의 존재
변곡점의 특징: 도함수가 극값을 가짐
변곡점의 두 가지 예
생산함수에서 비용 증가에 따라 한계생산량이 증가하다가 감소하기 시작하는 점
비용함수에서 생산 증가에 따라 한계비용이 감소하다가 증가하기 시작하는 점
변곡점의 특징: 곡선의 기울기의 증가율이 +에서 -로 혹은 -에서 +로 변하는 점
즉 기울기가 커지다가 작아지는 점 혹은 기울기가 작아지다가 커지는 점
라. 이윤극대화 조건
이윤함수의 이윤극대화
이윤극대화 산출량을 위해 1계 조건 충족해야 함
⇔ MR=MC
마. 연습문제
1) 의 상대적 극값은?
2) 평균비용함수 의 상대적 극값을 구하고, 이 값이 상대적 극소인지 상대적 극대인지 확인하시오.
5. 등식제약 하의 최적화 문제
가. 등식 제약 하의 최적화 문제
제약이 있는 단순한 모형
Max. , ()
s.t.
구체적인 예와 풀이
Max
s.t.
,
기존의 방법으로 해를 찾을 수 있음
나. 라그랑지 승수법 (Lagrange (undetermined) multiplier method)
라그랑지 승수법의 핵심
제약하의 극 값 문제를 변형시켜 무제약하의 극값문제에서의 1계 조건을 그대로 적용할 수 있도록 하는 것임
제약 하의 극값 문제 변형
라그랑지 함수:
는 아직 결정되지 않은 어떤 수를 의미
제약이 충족되면 값과는 무관하게 식의 마지막항은 0이 됨
마지막 항이 0이 되면 는 와 동일하므로 무제약하에서 의 극값을 찾으면 됨
문제의 해결법: 를 하나의 변수로 생각
일계조건(First-Order Condition; F..O.C )
(단, 을 의미)
(단, 을 의미)
위의 연립방정식을 풀면 , , 를 구할 수 있음
다. 소비자 선택의 문제
효용극대화 문제
Max. , ()
s.t.
라그랑지 승수법의 적용
라그랑지 함수:
F.O.C
(단, 을 의미)
(단, 을 의미)
F.O.C를 풀면
: 한계치 균등의 법칙
: 주관적 교환비율(MRS) = 상대적 교환비율(가격비)
, 를 구할 수 있음: 마샬수요함수
효용극대화와 마샬수요함수의 유도
Max. , s.t.
라그랑지 함수:
F.O.C.
1계 조건을 풀면
, : 마샬수요함수
비용극소화와 힉스수요함수(혹은 보상수요함수)
주어진 효용수준 하에서 비용을 극소화하는 문제
소득효과와 대체효과 개념을 생각해 볼 것!
Min , s.t.
라그랑지 함수:
F.O.C
F.O.C를 풀면
: 한계치 균등의 법칙
: 주관적 교환비율 = 상대적 교환비율
, 를 구할 수 있음
힉스소비함수: 실질소득이 일정하게 유지되도록 보상이 이루어진 상태에서의 보상수요함수(compensated demand function)
라. 생산자 선택의 문제
비용극소화 문제
Min. ,
s.t.
라그랑지 승수법의 적용
라그랑지 함수:
F.O.C
F.O.C를 풀면
는 등량곡선의 기울기에 음수를 취한 것을 의미함 즉,
연습문제
1) 이라는 제약 조건 하에서 의 극값을 구하시오.
2) 라는 제약 조건 하에서 의 극값을 구하시오
3) 효용함수는 이고, , , 소득수준은 130으로 주어졌다.
a) 라그랑지 함수를 구하라.
b) 최적구매량수준 와 를 구하라
4) x와 y의 가격은 , 라고 하자. 효용함수가 와 같이 주어지고, 목표효용수준이 일 때 보상수요함수를 구하시오
5) 소비자의 효용함수는 이다. 예산제약은 , x와 y의 가격은 , 일 때, 마샬수요함수를 구하시오.
6) 5)번 문제를 목표효용수준이 로 수정한 후, 힉스수요함수를 구하시오.
7) A의 효용함수는 U=x+y로 주어져 있다. A의 x와 y사이의 한계대체율을 구하시오
8) 효용함수가 로 주어져 있으며, 소득은 250, x의 가격은 20, y의 가격은 10으로 주어져 있을 때 효용을 극대화하는 x와 y의 양을 구하시오.
9) 소비자의 효용함수가 로 주어져 있고, 소득은 B, 가격은 , 일 때, 수요함수를 구하시오.
10) 기업의 생산함수가 로 주어져 있으며, 노동의 가격 , 자본의 가격 로 주어져 있다. 상품생산목표량이 900일 때, 노동과 자본을 얼마만큼 투입하는 것이 최적인지 구하시오.

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