정상전류자기장

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정상전류자기장에 대한 보고서 자료입니다.

목차

7-1 자기장과 로렌츠의 힘

7-2 비오-싸바르의 법칙

7-3 암페어의 법칙

7-4 자기 쌍극자에 작용하는 힘과 돌림힘

7-5 자기 벡터 퍼텐셜

7-6 자기 퍼텐셜의 전개와 자기쌍극자 모우멘트

본문내용

over r^2#
& bold m = i `` `1 over 2 oint bold r`' times d bold r`'`
(7-44)
여기에서
bold m`
은 앞에서 정의되었던 자기쌍극자 모멘트라 불리는 양이다. 이러한 벡터 퍼텐셜 근사는 좌표계 원점을 전류밀도 분포 근처에 취하고 관측점은 그로부터 충분히 먼 경우에 유효한 근사이다. 그러나, 전기 쌍극자의 경우에서와 마찬가지로 이 자기쌍극자는 좌표계 원점의 선택에 무관하게 일정한 값을 가짐을 보일 수 있다.
자기 벡터 퍼텐셜이 구해지면 자기장은 그것의 커얼을 취하면 구해진다. 예를 들어
z`
축을 향해 놓인 자기 쌍극자에 의한 자기장을 구해 보자. 이 경우 자기 모멘트는
bold m = m hat k`
로 나타낼 수 있으므로 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.
bold A = mu_0 over 4pi {m sin theta} over r^2 hat phi`
(7-45)
이 표현의 커얼을 취하여 얻는 자기장은 따라서 다음과 같다.
bold B = del times bold A = mu_0 over 4pi m over r^2 ( `2 cos theta` hat r `+` sin theta` hat theta )`
(7-46)
[그림 7-9] 자기 쌍극자의 자기장 그림
이 식은 전기 쌍극자에 의한 전기장과 정확하게 똑 같은 모양이다. 그림 7-9 는 자기 쌍극자에 의한 자기장을 나타내고 있으며 전기 쌍극자에 의한 전기장과 똑같은 모양임을 알 수 있다. 좌표계에 무관한 자기장의 표현도 쉽게 구해질 수 있으며, 이것도 역시 전기쌍극자의 경우와 똑같다.
bold B ( bold r ) = mu_0 over 4pi [ {- bold m + 3 (bold m cdot hat r ) hat r } over r^3 ] `
(7-47)
즉, 당연한 사실이지만 어떤 폐회로 도선에 의한 자기장은 도선으로부터 충분히 먼 거리에서는 도선의 세부 형태에는 무관하며, 단지 그 폐회로가 만드는 자기쌍극자 모멘트만으로 표현된다. 이 자기장의 표현식이 전기쌍극자가 만드는 전기장의 표현식과 똑같은 모양임은 흥미로운 사실이다.
연습 문제
[ 7-1]
del times ( bold A times bold B) = (del cdot bold B + bold B cdot del ) bold A -(del cdot bold A + bold A cdot del ) bold B`
관계를 이용하여 벡터 퍼텐셜로부터 자기장의 표현을 유도하여라.
[ 7-2] 원형도선 전류에 의한 도선 중심축 위의 자기장은
z`
축 성분만을 가지며, 그 크기는 앞의 예제에서 구하여졌다. 그 결과와
del cdot bold B`` =`` 0``
인 사실을 이용하여, 바닥면에 놓인 원형도선의 중심축위의 점에서 매우 가까운 점 자기장의 동경(radial) 성분을 구하여라.
[ 7-3] 헬름홀츠 코일
헬름홀츠 코일은 균일한 자기장을 쉽게 얻기 위해 흔히 쓰이는 코일이다. 이 코일은 반지름이 각각
a`
로 같은 두 개의 원형구조 코일이 서로 나란하게 놓인 구조를 갖는다. 두 코일간의 간격이
H`
라 할 때, (1) 중심축에서 두 코일에 의한 자기장의 극치를 갖는 점은 두 코일의 중간점, 즉, 한 코일로부터
H`/2`
떨어진 점임을 보여라. (2) 그 점에서 자기장의 테일러 전개식 제 2차 미분항까지 0 이 되는 조건이 되는
H`
는
H=a`
임을 보여라. 즉, 이러한 조건에서는 두 코일의 중간 위치 자기장은 매우 균일한 편이다.
[그림: 문제 3] 헬름홀츠 코일
[ 7-4] 어떤 도선에 흐르는 전류는 단위부피당 전하수가
n`
이고, 속도가
bold v`
이며, 전하량이
q`
인 전하들의 이동에 의한 것이다. 도선의 반지름은
A`
이다. 도선에 작용하는 힘은 도선 내의 각 전하가 받는 자기력의 합과 같다고 할 때, 길이가
dl`
인 도선 부분에 작용하는 자기력은
bold F = n`A`dl ```q` bold v` times bold B= i d bold l times bold B`
로 나타낼 수 있음을 보여라.
[ 7-5] 각각 전류
i`,i`'`
이 흐르는 평행으로 놓인 두 무한 길이 도선이 서로
d`
만큼 떨어져 있다. 이 두 도선은 서로 당김을 보이고, 길이가
dl`
인 부분이 받는 자기력 세기를 구하여라.
[ 7-6] 단면적 반지름이
R`
인 도선에 균일한 전류밀도
j_0`
로 전류가 흐르고 있다. 그러나 이 도선의 내부에는 단면적 반지름이
r`
인 공동 부분이 있으며, 그 부분에는 전류가 흐르지 않는다. 공동 부분 내에서의 자기장 세기를 구하여라.
[그림: 문제 6] 공동이 있는 도선 단면
[ 7-7] 두 자기 쌍극자가 한 평면에 놓여 있다. 쌍극자
bold m`_1
은 고정되어 있지만 쌍극자
bold m`_2
는 자유로이 회전할 수 있다. 벡터
bold r
이 쌍극자 1에서 쌍극자 2 로 향하는 벡터이며, 두 쌍극자가
bold r
방향과 이루는 각을 각
theta_1 , theta_2
라 할 때, 두 각 사이에는
tan theta_1`=` -2 tan theta_2
관계가 있음을 보여라.
[ 7-8] 쏠레노이드에 의한 자기장이 그 내부와 외부에서 축 방향을 향한다 가정하자. (a) 이 경우 자기장은 내부와 외부 영역에서 각각 균일해야 함을 보여라. (b) 암페어의 법칙을 이용하여 외부에서의 자기장은 0 이 됨을 보여라. (c) 이와같은 가정에서 얻어지는 '내부에서는 자기장이 존재하고, 외부에서는 0 이 됨'의 결과는 옳지 않음을 보여라.
[ 7-9] 쏠레노이드에 의한 자기장에 관한 다음 사실들을 증명하라.
(1) 유한 길이 쏠레노이드가 있을 때, 그 중심축에서 자기장은 다음 관계를 만족한다. 즉, 중심축 가장자리 점의 자기장은 중심점 자기장의 약 1/2 이다.
(2) 가장자리 변을 지나는 자기력선은 단면에 평행으로 향한다.
(3) 가장자리 단면을 통과하는 자속은 중심점 부근 단면을 지나는 자속의 1/2 이다.
(4) 중심점 부근에서 중심축과
r_0`
떨어진 자기력선은 가장자리에서는
sqrt2`r_0`
만큼 떨어져 있다.

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