관성 모멘트에 대한 모든 것

소개글

관성 모멘트에 대한 모든 것에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1차 모멘트

단면 2차 모멘트

질량 관성 모멘트

비틀림 봉의 면적 극관성모멘트

축의 이동에 따른 관성모멘트 변화

축의 회전에 따른 관성모멘트의 변화

본문내용

…………………………………… (3)
여기서 는 도심 축으로부터 축까지 평행 이동한 거리이다.
동일한 방법으로 축에 대한 단면 2차 모멘트는 다음과 같다.
(단위 : , ) …………………………………… (4)
단면 2차 모멘트는 몇 가지 특성을 가지고 있다. 단면 2차 모멘트의 최소값은 도심에 대한 것이며, 0은 아니며, 좌표축에 관계없이 항상 (+)의 부호를 갖는다. 단면 2차 모멘트 와 탄성계수 를 곱한 를 휨 강성(휨 변형에 저항하는 성질)이라고 하는데 가 크면 휨 강성(휨 저항성)이 커지게 된다. 단면 2차 모멘트 를 크게 하기 위해서는 단면의 폭 보다 높이 를 크게 해야 한다.
재료역학, 구조 역학 뿐만 아니라 수리학에서도 단면 2차 모멘트가 사용되는데 정수역학 분야에서 수문에 작용하는 전수압의 위치를 구할 때나 부체의 안정성을 검토할 때 사용된다.
y, x축에 대한 면적 A의 2차 모멘트(면적 관성모멘트(moment of inertia))는
이는 항상 양의 값이다.
모멘트를 취하는 축을 면적의 도심 C를 통과하는 y축에 평행한 축으로 이동시키면
이는
관성 상승모멘트
이는 양 혹은 음의 값이 될 수 있다. 이를 그림 A.1의 와 의 항으로 표시하면
는 xy축에 평행한 중심(도심)축에 대한 관성 상승모멘트이며, 어느 한 축이 면적의 대칭축이면 관승 상승모멘트는 0이다. 양의 좌표축을 따라 한 변이 b이고, 높이가 h인 삼각형의 이다.
그림 3. 간단한 도형의 중심축에 대한 관성모멘트
○ 질량 관성모멘트
미소질량 의 축에 대한 관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.
여기서 은 미소질량 과 축과의 최단거리이다. 물체의 질량 관성모멘트는 위 식을 적분하여 얻어진다.
그림 4. 질량 관성모멘트의 정의
같은 방법으로 Y축과 Z축에 대한 질량 관성모멘트를 구할 수 있다.
위에서 정의된 질량 관성모멘트는 정지 상태에 있거나 일정한 각속도로 회전하고 있는 물체의 각속도를 변화시킬 때 저항으로 나타난다. 즉, 질량 관성모멘트가 큰 물체의 각속도를 변화시키기 위해서는 큰 회전력(torque)이 필요하게 된다.
여기서 회전하고 있는 물체의 운동에너지를 구하면,
위에서 질량 관성모멘트는 회전하는 물체의 중요한 동적 특성임을 알 수 있다.
그림 5. 질량 관성모멘트의 물리적 의미
질량 관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.
그림 6. 비틀림 봉의 스프링상수 측정 장치의 관성모멘트 계산
○ 비틀림 봉의 면적 극관성모멘트
면적 극관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.
이 정의에 의해서 비틀림 봉의 면적 극관성모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.
○ 축의 이동에 따른 관성모멘트 변화
축의 이동에 따른 관성모멘트의 변화는 다음과 같이 표시된다.
그림 7. 평행축의 정리
위의 관계식을 평행축의 정리(parallel axes theorem)이라고 한다.
○ 축의 회전에 따른 관성모멘트 변화
다음으로, 축의 회전에 따른 관성모멘트의 변화를 알아보자.
2차원의 경우
그림 8. 2차원 축의 회전
여기서 변환행렬 각 요소의 의미를 살펴보면 다음과 같다. 는축과 축 사이의 방향여현(direction cosine)이며로 표시하기로 한다. 같은 방법으로,, 로 표시하면,
로 표시된다. 또한,
이므로, 변환행렬 A의 요소 는 회전하지 않은 i축과 회전한 j축 사이의 방향여현을 의미한다.
라 두면 이므로
운동에너지는 다음과 같이 표시된다.
따라서,
또는
3차원의 경우
그림 9. 3차원 축의 회전
3차원의 경우에도 변환행렬의 각 요소는 회전하지 않은 축과 회전한 축 사이의 방향여현을 나타낸다.
운동에너지는 스칼라 양이므로 회전과 상관없이 값이 같다. 따라서,
로 표현되며, 이로부터
또는 가 얻어진다.

키워드

1차 관성모멘트,   2차 관성모멘트,   관성모멘트,   질량관성모멘트,   극관성모멘트