비유클리드 기하학의 역사

본문내용

대한 설명에 불과하다. 그러므로 몇 가지 정의가 또한 주어졌다. 마지막으로, 학생에게 공준, 공리, 정리를 제시하는 자연스러운 순서는 그 논설의 전문적인 용어들의 의미를 설명하는 정의를 먼저 나열하고, 정의와 밀접하게 관련된 공준을 그 뒤에 나열하며, 마지막으로 공리 또는 일반 개념을 나열하는 것이다.
ⅵ) 유클리드의 원론에서의 일반 개념(공리)와 공준
유클리드의 원론에서의 일반 개념(공리)와 공준(정의는 너무 많은 관계로 생략한다.)은 다음과 같다.
*공준
다음을 공준으로 간주한다.
1. 임의의 점으로부터 임의의 점으로 직선을 그릴 수 있다.
2. 유한 직선은 연속적으로 직선을 연장할 수 있다.
3. 임의의 중심과 임의의 거리로 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.
*일반 개념(공리)
1. 같은 것에 같은 것은 또한 같다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면, 전체는 서로 같다.
3. 같은 것에서 같은 것을 빼면, 나머지는 서로 같다.
4. 서로 겹치는 것은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.
ⅶ) 공준과 일반 개념(공리)에 대한 논란
공준 4의 의미는 확실히 명백하지만, 이것이 공준으로 분류되는 것이 적절한지에 대한 많은 논란이 있었다. 만약 이것이 정리로 분류된다면, 이것의 증명은 이웃하는 한 쌍의 직각과 또 다른 그와 같은 쌍을 적용함으로써 이루어져야만 할 것이다. 그러나 유클리드는 될 수 있으면 포갬에 의한 증명(proof by superposition)을 피하기를 선호했다. 여하튼 유클리드는 공준 4를 공준 5 앞에 위치시켜야만 했는데, 그 이유는 어떤 두 내각의 합이 두 직각보다 작다는 공준 5의 조건은 모든 직각은 같다는 사실을 먼저 명백히 하지 않으면 쓸모가 없기 때문이다.
유클리드의 평행선 공준이라 부르는 공준 5는, 수학사에서 가장 유명한 명제 중 하나가 되었다. 다른 네 가지 공준보다 이 공준이 유클리드로부터 유래했다는 증거가 더 많다. 아리스토텔레스는 그 당시에 널리 알려진 평행선 이론과 관련된 논점의 선취(petitio prinsipii: 전제가 될 논점을 포함한 원리를 증명 없이 가정하는 오류) 또는 추론의 순환에 대해 언급하고 있다. 이아 같은 어려움을 피할 수 있는 유일한 방법은, 기하학의 전개에 대단히 필수적인 평행선 이론에 대한 기초로서 어떤 공준을 설정해야 한다고 유클리드가 인식한 것은 그의 수학적 통찰력의 일면을 보여준다. 유클리드가 공식화한 이 공준은 그런 목적을 훌륭하게 만족시켰으며, 또한 그와 동시에 도형에서 두 직선을 연장할 때 만날 것인지 아닌지에 대한 기준을 제공했다. 이 사실은 그 뒤에 유클리드의 공준을 바꾸려고 제안된 대용물들보다 그의 공준이 갖는 더 좋은 장점이다.
공리 4는 그 주제에 있어서 일반적이라기보다는 특수하고 이에 따라서 공리가 아니라 공준으로 나열되어야 한다는 근거에서 비판을 받았다.
ⅷ) 유클리드의 원론의 논리적 결함
유클리드의 원론은 공리적 방법의 매우 초기의 광범위한 적용이었기 때문에, 이 책에서 논리적 결함을 발견한다 해도 이 책에 대한 큰 불명예가 될 수 없다. 아마도 이런 결함 중에서 가장 중대한 것은 그 뒤의 추론에서는 사용되었지만 이 책의 제 1의 원리로 받아들여지지 않은 묵시적인 가정들일 것이다. 이와 같은 위험은 주제가 저자에게 너무 친숙할 때 모든 연역적 연구에 존재한다.
또한 유클리드의 책은 그의 예비적인 정의의 일부에서 비판의 대상이 될 수 있다. 실질적 공리학의 그리스적 양식에 따라서, 유클리드는 논설에 등장하는 모든 용어를 정의하거나 적어도 설명하려는 일련의 시도를 했다. 실제로, 한 논설의 모든 명제를 증명하는 것과 같이 그 논설의 모든 용어를 명시적으로 정의하기는 불가능하다. 이런 관점에서, 기본적인 용어는 공준을 만족시키는 어떤 대상 또는 개념이라는 의미에서 암시적으로 정의된 것으로 간주될 수 있다. 그리고 이런 암시적 정의는 기본적인 용어가 얻을 수 있는 유일한 종류의 정의이다.
ⅸ) 유클리드의 원론의 영향
유클리드의 원론은 아라비아를 통하여 후대에 전해져 아라비아, 라틴, 기타 각국어로 번역되어 세계 각국에 있어서 거의 원형 그대로 교과서로서 채용되었다. 1907년 처음 한역되었을 때 "기하 원본"이라 불렸고, 이로써 중국, 한국, 일본 등에서는 기하학의 명칭을 사용하게 되었다. 한 저술로써 이만큼 오래 세상에서 사용되고, 더욱이 커다란 영향을 미친 서적은 유례가 없다.
Ⅱ. 유클리드에 관계된 일화
ⅰ) "기하학에 왕도란 없다 "
유클리드가 알렉산드리아 대학에서 수학을 가르칠 때, 자신이 쓴 원론을 교재로 학생들을 가르쳤다. 그러나 제자들은 어려워 좀처럼 이해할 수 없었다.
제자들 중에는 왕자인 프톨레마이오스 2세가 있었는데, 어느 날은 왕자가 원론을 좀더 쉽게 배우는 법이 없는지 물었다. 그러자 유클리드가 대답하기를 "기하학엔 왕도가 없습니다." 라고 대답했다고 한다.
ⅱ) "동전이나 던져 주어라"
유클리드가 알렉산드리아 대학에서 가르치게 되자 유클리드의 명성은 나날이 높아져 많은 학생들이 알렉산드리아로 몰려들게 되었다. 그러나 대부분의 학생은 원론의 내용이 너무 어려워 내용을 잘 이해하지 못했다.
그래서 알렉산드리아가 유학 온 어떤 제자가
" 선생님! 이런 어려운 원론을 배우면 어떠한 이익이 있습니까?"
라고 묻자 유클리드는
" 너는 지식을 얻는 것보다 동전이 더 갖고 싶겠지?"
하며 동전을 던져주고는 고향으로 돌려보내 버리고 말았다.
관련 사이트:
http://math.kongju.ac.kr/math/
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유클리드 기하학은 현대 수학과 과학을 시작하게 해주는 책이다.
즉 유클리드 기하학은 현대 수학과 과학의 정신을 내포한다.
이러한 이유로 나는 유클리드 기하학의 수학적, 역사적, 철학적
의미를 탐구하기를 원한다.
다음의 내용은 2000연도에 들은 수업의 일부분이기도 하며
홍승표 교수의 "유클리드 기하개론"(경문사, 2000) 중 중요부분을 발췌한
것이다.
2. 공리란?

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