[수학의이해B]유클리드와 아르키메데스, 카르다노, 메넬라우스 정리로 체바의 정리를 증명, 4차방정식

소개글

[수학의이해B]유클리드와 아르키메데스, 카르다노, 메넬라우스 정리로 체바의 정리를 증명, 4차방정식에 대한 보고서 자료입니다.

목차

Ⅰ. 서 론

Ⅱ. 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의를 서술하시오
1. 유클리드의 수학사적 의의
2. 아르키메데스의 수학사적 의의

Ⅲ. 3차 방정식 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유는?

Ⅳ. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명하라
1. 메넬라우스 정리
2. 체바의 정리
3. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명

Ⅴ. 자신의 생일(12월 14일)을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식을 만들어 보라.(단, 3월 1일은 03월 01일로 나타낸다.)

Ⅵ. 결 론




[참고 자료]

본문내용

서 ‘최고의 불운아’라는 별명도 함께 얻었다. 그의 인간성에 대한 평가는 좋지 못했었다. 앞서 언급한 대로 그는 평소에도 도박을 즐기는 괴팍한 성격의 소유자였기 때문이다.
뉴먼은 그를 정열적이고 성미가 급박한 사람으로 묘사를 했다. 더욱이 불친절한데다 분쟁을 일으키길 좋아하며, 정직하지 못하고 유머란 찾아볼 수 없는 사람이라고 표현했다.
‘위대한 기술’에는 음의 해에 관한 내용도 담겨있다.
18세기까지만 해도 음수는 수로 인정을 받지 못했다.
오늘 날의 수 체계가 확립된 것은 그리 오래된 역사가 아니었던 것이다.
바로 이 ‘음수’를 처음으로 도입하고 인정한 사람이 바로 16세기 수학자 카르다노였다. 그는 방정식의 해를 구할 때도 음의 근까지도 구했다. 반면 17세기에 들어서도 데카르트는 음의 해를 인정하지 않는다.
1563년 쓰여진 카르다노의 '기회의 게임에 관하여'는 확률론 연구의 시초이다.
이 책에는 이항정리와 '큰 수의 법칙'도 함께 수록이 되어 있다.
1570년에는 점성술을 퍼뜨린 죄로 종교재판을 받고 몇 달 간 수감되기도 했다.
그는 모든 지위를 박탈당하고 책의 출판도 금지를 당했다. 석방된 뒤 카르다노는 로마로 갔고, 그곳에서 그는 예상치 못한 환대를 받아 물리학협회의 회원으로 추대되어진다. 카르다노를 용서한 교황도 그에게 장려금까지 주었다고 한다.
카르다노는 과학자로서 영예를 누리며 생을 마감했다. 그는 자신의 죽음까지도 예언했는데 그 날짜를 맞추기 위해서 자살까지 했다고 한다.
Ⅳ. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명하라
1. 메넬라우스 정리
삼각형 ABC의 꼭짓점을 지나지 않는 직선 과 각 변과의 교점을 라 하면,
이 성립한다.
또 역으로
이 성립한다면, 는 공선(3개 이상의 점이 동일직선상에 있는 경우)이다.
2. 체바의 정리
삼각형 ABC에서 직선 의 어느 위에 있지 않은 한 점 와 를 이은 직선이 에서 만나는 점을 각각 라 하면,
이다.
또, 역으로 삼각형의 세 변 위에서 이 되게 각각 (이 가운데에는 외분점이 없거나 또는 외분점이 두 개 존재)를 취한다면 직선 는 한 점에서 만나거나 또는 서로 평행하다.
3. 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명
삼각형와 직선 에 메넬라우스의 정리를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
------ ①
또 삼각형와 직선에 메넬라우스의 정리를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
즉, ------ ②
①과 ②를 변끼리 곱하면 다음과 같다.
이 식을 정리하면 다음과 같으므로 체바의 정리가 증명된다.
Ⅴ. 자신의 생일(12월 14일)을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식 을 만들어 보라.(단, 3월 1일은 03월 01일로 나타낸다.)
[생일 : 12월 14일]
생일이 12월 14일이므로, 생일을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식에 적용하면, 각각의 근은 1, 2, 1, 4가 된다.
이 네 개의 실근을 바탕으로 방정식을 구성하면,
과 같으며, 이를 기본 4차방정식의 형태로 풀면,
∴
이 된다. 즉, 이 되는 4차방정식을 확인할 수 있다.
Ⅵ. 결 론
이상으로 고대 그리스 수학에서 유클리드와 아르키메데스의 수학사적 의의, 3차 방정식 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는 이유, 메넬라우스 정리를 이용하여 체바의 정리를 증명, 자신의 생일(OO월 OO일)을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식 을 만들어 보았다.
이 중에서 특히, 체바의 정리는 아래와 같은 수학 문제 등에 이용된다.
삼각형ABC의 변 BC에 평행인 직선DE와 변 AB, AC는 각각 점 D,E에서 만나고 선분 BE와 선분 CD는 점 S에서 만나며 직선 AS는 선분BC와 점 M에서 만난다고 할 때 M은 BC의 중점임을 증명하라는 문제의 경우에는 삼각형ABC에 체바의 정리를 적용하고, 이 내부의 삼각형에 메넬라우스의 정리를 적용해서 증명할 수 있다. 그리고 이런 형식의 여러 가지 증명 문제나 선분의 길이를 구하는 문제 등을 풀 수 있다.
이런 것들을 생활에 적용한다면 삼각형 모양의 구역에서 모르는 길이를 잴 수 있는 방법이 될 것이다.
[참고 자료]
나까다 노리오, 오희옥 역, 수학 역사기행, 경문사, 2003
찰스 밴 도렌, 박중서 역, 지식의 역사, 갈라파고스, 2010
배종수, 신항균, 현대수학의 이해, 경문사, 2010
데이비드 벌린스키, 김하락 역, 수학의 역사, 을유문화사, 2007
편집부, 수학의이해, 한국방송통신대학교, 2011

키워드

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