2022년 2학기 방송통신대 선형대수 출석수업대체과제물)2019학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(4번, 7번, 8번, 12번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오 단 정답은 왜 정답인지, 오답은 왜 오답인지를 상세히 설명하십시오 등

소개글

2022년 2학기 방송통신대 선형대수 출석수업대체과제물)2019학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(4번, 7번, 8번, 12번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오 단 정답은 왜 정답인지, 오답은 왜 오답인지를 상세히 설명하십시오 등에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 2019학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(4번, 7번, 8번, 12번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오. 단, 정답은 왜 정답인지, 오답은 왜 오답인지를 상세히 설명하십시오. (참고: 해당 기출문제는 U-KNOU 캠퍼스 > 선형대수 > 강의자료실에서 다운받을 수 있습니다). [문항당 3점씩 총 15점]

2. 제3장의 연구과제 4번(교재 p.71)을 푸시오. [5점]

3. 제5장의 연구과제 5번(교재 p.129)을 푸시오. [5점]

4. 제6장의 연구문제 3번(교재 p.147)을 푸시오. [5점]

5. 참고문헌

본문내용

거하고 남은
2차 행렬 로 계산한다.
정리 5.6(p114)에 따라 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 모든 요소의 곱과 같다. 따라서 |A| = 3 X 3 X 3 = 27이다.
3) 기출문제 8번
다음 중 행렬 의 역행렬은? (3점)
① ②
③ ④
설명
정리 5.9(p117)에 따라 역행렬이 존재하기 위해서는 |B|≠0 이어야 한다. 문제7에서 |B| = -1이므로, 행렬 B의 역행렬은 존재한다. 역행렬은 정리 4.6(p83)에 따라 소거행제형 행렬을 이용하거나, 정리 6.2(p139) 등의 방법으로 구한다. 여기서는 정리 6.2에 따라 수반행렬을 이용해 역행렬을 구한다. |B|는 앞에서 구했으므로 수반행렬만 구하면 된다.
정의 6.1(p138)에 따라 수반행렬은 다음의 과정으로 구해진다. 수반행렬은 여인수 행렬의 전치행렬이므로 여인수 행렬부터 구해야 한다. 행렬 B의 여인수 행렬은 B의 각 요소에 대한 여인수를 요소로 하는 행렬이다.
아래 그림은 지금까지 과정을 파이썬 프로그래밍 언어로 간략히 확인한 것이다.
4) 기출문제 12번
행렬 에 대한 설명으로 부적절한 것은? (3점)
① 정방행렬이면서 상삼각행렬이다.
② 정칙행렬이면서 하삼각행렬이다.
③ 3차 단위행렬에 기본행연산 을 적용한 결과이다.
④ 3차 기본행렬 이다.
설명
상삼각행렬은 주대각원소의 아래 성분이 모두 0인 정방행렬이다.
하삼각행렬은 주대각원소의 위 성분이 모두 0인 정방행렬이다.
정리 5.6(p114)에 따라 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 모든 요소의 곱으로
|A|=1X1X1=1이다.
정리 5.9(p117)에 따라 행렬식이 0이 아니므로 행렬 A는 정칙행렬이다.
3차 단위행렬 에서 기본행연산 R1,3(5)의 의미는, 1행에 5를 곱한 값을 3행에 더
한다는 것이다. 즉, 1행 (1 0 0)에 5를 곱한 결과 (5 0 0)를, 3행 (0 0 1)에 더하면 3행
의 값은 (5 0 1)로 변경된다.
기본행렬 는 3차 단위행렬에 기본행연산 을 적용한 것이다.
5) 기출문제 14번
차 정방행렬 와 의 행렬식을 각각 라고 할 때, 다음 중 옳은 것은? (3점)
① (단, A는 정칙행렬)
② (단, c는 0이 아닌 상수)
③
④
설명
정리 5.11(p120)에 따라 , 이다.
의 반례를 들어본다. 정리 5.6(p114)에 따라 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 모든 요소의 곱과 같다. 따라서 3차 단위행렬의 행렬식은 1이다.
의 행렬식은 1이다.
위 행렬의 행렬식은 2X2X2 = 8이므로 ③이 성립되지 않는다.
정리 5.10(p119)에 의해 A와 B가 n차 정방형렬이면 두 행렬 곱의 행렬식은 각각의 행렬
식의 곱과 같다.
2. 제3장의 연구과제 4번(교재 p.71)을 푸시오. [5점]
AT = -A를 만족하는 행렬 A를 역대칭행렬이라고 한다. 역대칭행렬 A = (aij)는 모든 i, j에
aij = -aji를 만족한다. A가 임의의 n차 정방행렬일 때 다음을 증명하라.
(1) A + AT는 대칭행렬이다.
(2) A - AT는 역대칭행렬이다.
(3) A는 대칭행렬 S와 역대칭행렬 T의 합으로 표시될 수 있다. 즉, A = S + T이다.
설명
AT = A인 정방행렬 A를 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다. 즉, 대칭행렬은 어떤 행
렬의 전치행렬이 자신과 같을 때 그 행렬을 대칭행렬이라고 한다. 대칭행렬은 주대각선을
기준으로 각 원소가 대칭을 이룬다.
(1)의 경우, 정리3.4(p64)에 따르면 (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT 이고, 두 행렬의 합은 교환법칙이 성립하므로, (A + AT)T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT 이다.
따라서 (A + AT)의 전치행렬이 (A + AT)이므로 (A + AT)은 대칭행렬이다.
(2)의 경우, 정리3.4(p64)와 행렬의 스칼라곱의 성질에 관한 정리 3.2(p53)의
c(A+B) = cA + cB를 적용해서 (A - AT)의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.
(A - AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT)
따라서 (A - AT)의 전치행렬이 자기자신의 원소에 부호를 바꾼 결과와 같으므로 역대칭행
렬이 된다.
(3)의 경우, 행렬 A가 대칭행렬이면 A에 실수 c의 곱도 아래 과정을 통해 대칭행렬임을 알
수 있다.
AT = A
정리 3.4에 의하면 (cA)T = cAT 이고, AT = A이므로, (cA)T = cAT = cA 이다.
그리고 행렬 A가 역대칭행렬이면 A에 실수 c의 곱도 아래 과정을 통해 역대칭행렬임도 알
수 있다.
AT = -A
정리 3.2(p53)에 의하면 c(dA) = cd(A)이고, AT = -A이므로
(cA)T = cAT = c(-A) = -cA
그런데 앞서 (1)과 (2)에서 A가 임의의 n차 정방행렬일 때, (A + AT)와 (A - AT)는 각각
대칭행렬과 역대칭행렬임을 증명했다.
따라서 (A + AT)도 대칭행렬이고, (A - AT)은 역대칭행렬이다.
(A + AT) + (A - AT) = A이므로
대칭행렬 (A + AT)을 S라 하고, 역대칭행렬 (A - AT)을 T라 하면,
A는 대칭행렬 S와 역대칭행렬 T의 합, 즉 A = S + T로 표현할 수 있다.
3. 제5장의 연구과제 5번(교재 p.129)을 푸시오. [5점]
을 만족하는 정칙행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라 한다. 직교행렬 에 대해 또는 임을 증명하라(제14장 2절 참조).
설명
직교행렬은 전치행렬이 역행렬인 행렬이다.
가 직교행렬이므로 이고, 정리 5.10(p119)과 정리 5.11(p120)에 의해
4. 제6장의 연구과제 3번(교재 p.149)을 푸시오. [5점]
(1) 일 때 행렬식을 이용해서 를 구하라.
행렬식은 여인수 전개를 이용해 구할 수 있다. 또한 3차 정칙행렬은 공식(p107)을 통해 쉽게 계산된다. 여기서는 p112의 정리 5.5와 p114의 정리 5.6을 이용하여 행렬식을 구해본다.
수반행렬 =
(2) 가 일 때, 도 삼각행렬임을 보여라.
5. 참고문헌
손진곤, 강태원(2015), 선형대수, 출판문화원.

키워드

방송통신대선형대수,   방송대선형대수,   방통대선형대수,   행렬,   행렬식,   정리,   문제