선형대수 2022년 2학기 기말] 2019학년도 선형대수 기출문제 중 16번~25번까지의 문제에 대해 풀이 제5장의 연구과제 5번 제9장의 연구과제 4번 제12장의 연습문제 1번 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명

소개글

선형대수 2022년 2학기 기말] 2019학년도 선형대수 기출문제 중 16번~25번까지의 문제에 대해 풀이 제5장의 연구과제 5번 제9장의 연구과제 4번 제12장의 연습문제 1번 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명에 대한 보고서 자료입니다.

목차

선형대수 기말과제

1. 2019학년도 선형대수 기출문제 중 16번~25번까지의 문제에 대해 풀이를 상세하게 해설하시오.
2. 제5장의 연구과제 5번(교재 p.129)을 푸시오.
3. 제9장의 연구과제 4번(교재 p.239)을 푸시오.
4. 제12장의 연습문제 1번(교재 p.309)을 푸시오.
5. 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 학생의 영문 성과 학번의 끝 3자리를 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명하시오
6. 참고문헌

본문내용

에 의해 닫혀 있어야 한다.
집합 { }에서 의 두 원소 와 에 대하여
= 이 된다. 이므로 이는 덧셈에 의해 닫혀 있다.
또한 이고, 이 되므로 곱셈에 관하여 닫혀 있다.
따라서 결과적으로 은 의 부분공간이 된다.
집합 { }에서 의 두 원소 와 에 대하여
이 된다. 이므로 이는 덧셈에 의해 닫혀 있다.
또한 이고, 이 되므로 곱셈에 관하여 닫혀 있다.
따라서 결과적으로 은 의 부분공간이 된다.
(2) 는 무엇이겠는가? 즉, 에 동시에 들어가는 를 구하라.
에 동시에 들어가는 는 이 된다.
(3) { } 라고 정의하자. 즉, { } 일 때, 가 벡터공간임을 보여라.
벡터공간이 되기 위해서는 다음의 조건을 만족하여야 한다.
(교과서 199페이지 정의 8.2)
* 의 원소 에 대하여 가 에 속하며, 즉 닫혀 있고 다음의 성질을 만족하여야 한다.
① (교환법칙)
② (결합법칙)
③ 임의의 원소 에 대해서 항등원 이 있어서 가 성립한다. 항등원 를 영벡터라 한다.
④ 임의의 에 대해서 덧셈의 역원 가 있어서 가 성립한다.
* 의 원소 와 체 의 원소 에 대하여 스칼라곱 가 에 속하며, 즉 닫혀 있고 다음의 성질을 만족하여야 한다.
⑤
⑥
⑦
⑧
의 원소 와 의 원소 에 대하여
가 된다.
여기에서 우선 가 덧셈과 스칼라곱에 의해 닫혀 있음을 증명하면서 주어진 조건을 만족하는지 확인한다.
의 두 원소 에 대하여
이 된다. 이므로 이는 덧셈에 의해 닫혀 있다.
① (교환법칙)
→
→
- 성립
② (결합법칙)
{} {}
- 성립
③ 임의의 원소 에 대해서 항등원 이 있어서 가 성립한다. 항등원 를 영벡터라 한다.
- 성립
④ 임의의 에 대해서 덧셈의 역원 가 있어서 가 성립한다.
의 원소 역원
즉, 가 성립
의 원소 에 대하여 이고, 이 되므로 곱셈에 관하여 닫혀 있다.
이 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있다.
⑤
- 성립
⑥
- 성립
⑦
- 성립
⑧
- 성립
(4) 임을 보여라.
{ } 과 { }
(3)에서 우리는 가 덧셈과 스칼라곱에 의해서 닫혀있음을 증명하였다. 따라서 이는 의 부분공간이 된다. 이와 함께 은 모든 를 0으로 보내는 함수이고, 는 모든 를 0으로 보내는 함수가 된다. 또한 은 가 로서 모든 실수 값을 취하고, 는 모든 가 로 모든 실수 값을 취하므로 결국 는 그 자체가 된다고 볼 수 있다.
4. 제12장의 연습문제 1번(교재 p.309)을 푸시오.
다음 행렬의 고유값과 고유벡터를 구하라.
(1)
위의 식을 만족하는 값은
따라서 고유값은 0이다.
= 0인 경우 고유값 0에 대응하는 고유벡터를 라 하면
고유벡터는 인 모든 벡터이다.
(2)
위의 식을 만족하는 값은
따라서 고유값은 10, 10 이다.
= -10 인 경우 고유값 10에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= 10 인 경우 고유값 10에 대응하는 고유벡터를 라 하면
(3)
위의 식을 만족하는 값은
따라서 고유값은 3, 4 이다.
= 3인 경우 고유값 3에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= 4 인 경우 고유값 4에 대응하는 고유벡터를 라 하면
(4)
따라서 고유값은 0, -1 이다.
= 0 인 경우 고유값 0에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= -1 인 경우 고유값 -1에 대응하는 고유벡터를 라 하면
(5)
위의 식을 만족하는 값은
따라서 고유값은 1, 2, 3 이다.
= 1 인 경우 고유값 1에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= 2 인 경우 고유값 2에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= 3 인 경우 고유값 3에 대응하는 고유벡터를 라 하면
(6)
따라서 고유값은 0, 2 이다.
= 0 인 경우 고유값 0에 대응하는 고유벡터를 라 하면
= 2 인 경우 고유값 2에 대응하는 고유벡터를 라 하면
고유벡터 A는 다음과 같이 일차결합으로 나타낼 수 있으므로 = 2에 대응하는 고유공간은 벡터집합 {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}을 기저로 갖는 공간의 2차원 부분공감임을 알 수 있다.
5. 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 학생의 영문 성과 학번의 끝 3자리를 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명하시오
(예를 들어 학생 홍길동의 학번이 ******-***123이면 HONG123이 평서문임. space는 사용하지 않음).
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1단계 정칙행렬인 임의의 행렬 을 정하고 이라 한다.
평서문 ‘HONG123’을 암호화하려면 먼저 위의 표처럼 알파벳 27글자를 A를 0으로 B를 1 ..... Z를 25로 놓자.
먼저 ‘HONG123’에서 ‘HONG’을 숫자화 하면 아래와 같이 된다.
H
O
N
G
7
14
13
6
이것을 M이라고 하자.
그리고 이것을 암호화 하기 위해서 M의 왼쪽에 A를 곱하여 N을 만든다.
이 N으로부터 숫자화 된 암호문 (13, 73, 39, 20)을 만든다.
‘HONG123’에서 ‘123’은 임의의 숫자 ‘0’을 추가하여 L이라고 하자.
그리고 이것을 암호화 하기 위해서 L의 왼쪽에 A를 곱하여 H를 만든다.
이 H로부터 숫자화 된 암호문 (1, 11, 7, 2)을 만든다.
N과 H를 합쳐 숫자화된 암호문 (13, 73, 39, 20, 1, 11, 7, 2) 만들 수 있다.
이제 이 암호문을 행렬 B을 이용하여 해독하여 다시 평서문을 만든다.
이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이것을 통해 우선 N으로부터 숫자화 된 암호문 (13, 73, 39, 20)에서
이므로
7
14
13
6
H
O
N
G
문장을 얻을 수 있다.
그리고 H로부터 숫자화 된 암호문 (1, 11, 7, 2)에서
이므로 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이므로
(1, 2, 3, 0)을 얻을 수 있다. 이때 임의로 추가했던 0를 제외하고
‘1, 2, 3’을 바로 앞에서 얻은 ‘H, O, N, G’를 합치면
최종적인 평서문 “HONG123”로 해독된다.
6. 참고문헌
손진곤, 강태원 [선형대수] 방송통신대학교출판문화원 2022

키워드

선형대수,   방송대선형대수,   선형대수기말과제,   선형대수기출문제,   선형대수연구과제,   선형대수연습문제풀이,   정칙행렬이용암호문,   선형대수암호문,   방통대 선형대수,   벡터,   선형,   대수,   문제