방송통신대 선형대수 2018년 2학기 기말시험 기출문제 1번에서 25번까지 풀이

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방송통신대 선형대수 2018년 2학기 기말시험 기출문제 1번에서 25번까지 풀이에 대한 보고서 자료입니다.

목차

2018학년도 2학기 기말시험 선형대수 기출문제 1번~25번
(기출문제는 u-KNOU 캠퍼스에서 다운 가능함)

본문내용

a2, b1 + b2, c1 + c2)이다.
A + B의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
A = (a, b, c)에 대해 실수 k를 곱하면 kA = (ka, kb, kc)이 된다.
kA의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 곱셈에 관하여도 닫혀 있다.
따라서 {(x,y,z)| x,y,z∈R}는 정의 8.4(p205)의 부분공간의 조건을 모두 만족한다.
④ 두 원소 A = (a1, b1, a1 + b1), B = (a2, b2, a2 + b2)에 대해서 두 원소의 합은
A + B = (a1, b1, a1 + b1) + (a2, b2, a2 + b2) = (a1 + a2, b1 + b2, a1 + b1 + a2 + b2)이다.
A + B의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,x+y)| x,y∈R}는 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
A = (a, b, a + b)에 대해 실수 k를 곱하면 kA = (ka, kb, ka+kb)가 된다.
kA의 첫 번째, 두 번째, 세 번째 성분 모두 실수이므로 {(x,y,x+y)| x,y∈R}는 곱셈에 관하여도 닫혀 있다.
19. R2에서 R3로의 사상 T에 대해서 T(x,y) = (x,2x,3x)를 다음처럼 행렬로 나타낼 수 있다.
이때 행렬을 사상 T에 대응하는 행렬이라고 한다.
사상 T를 행렬로 표현하면 다음과 같다.
R2의 표준기저는 다음과 같다.
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
e1, e2는 각각 x축, y축의 단위벡터이다.
먼저 e1을 사상 T에 적용하면 다음과 같다.
e2을 사상 T에 적용하면 다음과 같다.
여기서
따라서 정리 10.3에 따라 T에 대응되는 행렬은 T(e1)과 T(e2)를 열벡터로 하여 다음과 같이 표현된다.
T에 대응되는 행렬
20. 정의 10.4에 따라,
Ker(T) = T-1(O) = { A∈V | T(A) = O}이므로 (x,2x,3x) = (O, 0, 0)이다.
이 식을 만족하는 x = 0이다.
따라서 Ker(T) = { (0, y) | y∈R} 이다.
즉, 사상 T에 의해 R2 공간에서 x가 0인 벡터는 R3 공간에서 영벡터가 된다.
21. Ker(T) = { (0, y) | y∈R}
Ker(T)의 임의의 원소 (0, y)는 다음처럼 벡터 다음과 같이 일차결합으로 나타낼 수 있다.
(0, y) = y(0, 1)
자기 자신을 영벡터로 만들 수 있는 경우는 계수가 0인 경우뿐이므로 벡터 (0, 1)은 일차독립이다. Ker(T)의 임의의 원소는 벡터 (0, 1)의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 정의 9,1(p223)의 일차독립 조건을 모두 만족하므로 벡터 (0, 1)은 Ker(T)의 기저가 된다. 차원은 기저의 개수이므로 dim Ker(T) = 1이다.
Im(T) = T(x,y) = { (x,2x,3x) | x∈R}
Im(T)의 임의의 원소 (x,2x,3x)는 다음처럼 벡터 다음과 같이 일차결합으로 나타낼 수 있다.
(x,2x,3x) = x(1,2,3)
자기 자신을 영벡터로 만들 수 있는 경우는 계수가 0인 경우뿐이므로 벡터 (1,2,3)은 일차독립이다. Im(T)의 임의의 원소는 벡터 (1,2,3)의 일차결합으로 표시할 수 있다. 따라서 정의 9,1(p223)의 일차독립 조건을 모두 만족하므로 벡터 (1,2,3)은 Im(T)의 기저가 된다. 차원은 기저의 개수이므로 dim Im(T) = 1이다.
그런데 정리 10.13(p260)를 이용하면 dim Im(T)을 따로 구하지 않아도 쉽게 계산된다. R2의 차원은 2이므로, dim Im(T) = dim V - dim Ker(T) = 2 - 1 = 1
Rn 공간에서 기본단위벡터는 Rn 벡터공간의 기저이고, 이를 특히 표준기저(standard basis)라고 부른다.
22.
행렬의 고윳값과 고유벡터를 알면 행렬식을 쉽게 구할 수 있고 역행렬이 있는지 여부를 알 수 있으며 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다. 구글의 검색 엔진에서 관련성에 관한 검색 결과의 순위를 매기는 데 고윳값과 고유벡터가 사용된다.
고윳값은 특성방정식식을 통해 찾을 수 있다. 특성방정식에 대한 설명이다.
정의 12.1에서 MA = λA는 항등행렬 I를 사용해 MA = λIA로 바꿀 수 있다.
이를 다시 정리하면 MA - λIA = O, 즉 (M-λI)A = 0 이 된다.
정리 4.10과 정리 5.9에 따라, 연립일차방정식 (M-λI)A = 0에서 (M-λI)의
|(M-λI)| = O를 행렬 M의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다.
정리 12.3에 따라 고유값을 구하면 다음과 같다.
따라서 위 방정식을 풀면 λ= -1, 6 이 된다.
23. 정의 12.1(p298)에 따라 A가 고유벡터이려면 MA = λA이어여 한다.
보기 ①에서
보기 ②에서
보기 ③에서
보기 ④에서
24. 보기 ① 정의 14.4의 정의에 따라 M-1 = M인 것은 자명하다.
보기 ② 정리 14.5를 증명하면 다음과 같다.
M이 직교행렬이므로 MTM = I이다.
정리 5.10 p119 |AB|=|A||B|와 정리 5.11 p120 |AT|=|A|에 따라,
|MTM| = |MT||M| = |M|2 = |I| = 1이다.
따라서 |M|은 1 또는 -1이 된다.
보기 ③과 보기 ④
직교집합(orthogonal set)은 서로 직교인 O인 아닌 벡터들의 집합 {A1, A2, ..., An}을 말한다(p339). 직교집합 {A1, A2, ..., An}에서 각 벡터의 크기가 1일 때, 직교집합 A를 단위직교집합이라고 하고, 그 원소들을 단위직교벡터라고 한다(p340).
정리 14.4에 따라 M의 행벡터와 열벡터는 단위직교벡터집합을 이룬다. 교재 p344에는 정리 14.4의 증명과 관련해 3차 정방행렬에 대해서만 증명하고 있다.
25. 정의 14.2에 따라 직교집합이 되기 위해서는 집합 내의 임의의 두 벡터의 내적이 모두 0이어야 하므로 다음과 같이 직교집합의 조건이 계산된다.
이므로 정답은 ④이다.

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