방송통신대 선형대수 2019년 2학기 기말시험 기출문제 1번에서 25번까지 풀이

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방송통신대 선형대수 2019년 2학기 기말시험 기출문제 1번에서 25번까지 풀이에 대한 보고서 자료입니다.

목차

2019학년도 2학기 기말시험 선형대수 기출문제 1번~25번
(기출문제는 u-KNOU 캠퍼스에서 다운 가능함)

본문내용

결과값은 항상 같다. 따라서 행에 0이 많이 있는 행을 선택해서 그 행에 대해 행렬식 의 여인수 전개를 하는 것이 더 쉽다.
왜냐하면 여인수 전개 과정에서 행의 요소의 값과 그 요소에 대한 여인수를 곱해야 하는데, 행의 요소값이 0이면 그 요소에 대한 여인수를 구할 필요없이 0이 되기 때문이다. 따라서 문제의 행렬 에서는 1행을 선택해서 행렬식을 계산하는 것이 효율적이다.
3차 정방행렬의 경우, p107의 공식으로 행렬식을 보다 쉽게 계산할 수 있다.
8. 차 정방행렬의 역행렬은 정리 4.6에 따라 확대행렬에 기본형 연산을 적용하여 소거행제형 행렬을 만들거나, 정리 6.2에 따라 차 정방행렬의 수반행렬과 행렬식을 이용하여 구할 수 있다. 여기서는 정리 6.2를 이용하여 역행렬을 구한다.
정리 5.9(p117)에 따라 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건은 ≠ 이다. 문제7에서 이므로, 행렬 의 역행렬은 존재한다. 는 이미 구했으므로 수반행렬만 구하면 된다.
정의 6.1(p138)에 따라 수반행렬은 다음의 과정으로 구해진다. 수반행렬은 여인수 행렬의 전치행렬이므로 여인수 행렬부터 구해야 한다. 행렬 의 여인수 행렬은 의 각 요소에 대한 여인수를 요소로 하는 행렬이다.
따라서 정답은 ②이다.
참고로 정리 4.6를 이용하여 역행렬을 구해본다.
9. 대칭행렬은 주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 행렬원소가 서로 같은 행렬이므로, 를 만족해야 한다. 이 두 식을 연립하여 풀면 정답은 ① 이다.
10. 행렬의 곱에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.
정리 3.4에 따라 가 항상 성립하므로 정답은 ②이다.
아래 예의 경우, , 이지만 이다.
아래 예의 경우, , 이지만 이다.
11. 정리4.2에 따라 이므로 정답은 ③이다.
12. 상삼각행렬은 주대각원소의 아래 성분이 모두 0인 정방행렬이므로 정답은 ①이다. 하삼각행렬은 주대각원소의 위 성분이 모두 0인 정방행렬이다.
정리 5.6에 따라 삼각행렬(상삼각행렬과 하삼각행렬)의 행렬식은 주대각선의 모든
요소의 곱이므로 이다. 정리 5.9에 따라 행렬식이 0이 아니므로 행
렬 는 정칙행렬이다.
3차 단위행렬 에서 기본행연산 R1,3(5)는, 1행에 5를 곱한 값을 3행에 더한
다는 것이다. 즉, 1행 (1 0 0)에 5를 곱한 결과 (5 0 0)를, 3행 (0 0 1)에 더하면
3행은 (5 0 1)로 변경된다.
기본행렬은 단위행렬에 기본형 연산을 한 번 적용한 행렬을 의미한다. 3차 기본행
렬 는 3차 단위행렬에 기본행연산 을 적용한 것이다.
13. 정리 4.10의 (4)에 따라 동차방정식 는 오직 자명한 해만을 가지므로 정답은 ③이다.
14. 정리 5.11에 따라 , 이다.
의 반례를 들어본다. 정리 5.6(p114)에 따라 삼각행렬의 행렬식은 주대각선의 모든 요소의 곱과 같다. 따라서 3차 단위행렬의 행렬식은 1이다.
의 행렬식은 1이다.
의 행렬식은 2X2X2 = 8이다(∵삼각행렬)
정리 5.10에 의해 A와 B가 n차 정방형렬이면 두 행렬 곱의 행렬식은 각각의 행렬
식의 곱과 같다.
15.
정리 6.1에 따라 미지수 를 구하기 위해 계수행렬 j=2열 대신에 상수행렬을 열로 써 넣으면 된다. 즉,
, , 이므로 정답은 ②이다.
분자 j는 를 계산하면 된다. 행렬식은 정의 5.1에 따라 여인수전개를 통해 구할 수도 있지만, 정리 5.5에 따라 기본행연산과 행렬식의 관계를 이용하여 쉽게 구할 수도 있다. 3차 정방행렬의 행렬식 공식을 이용해도 된다.
다시 위 행렬에
(∵정리 5.6)
16. 이므로 정답은 ④이다.
17. ① R3 벡터공간에서 벡터 A의 크기는
②정의 7.14(p171)의 내적의 정의에 따라 벡터 A, B의 내적은 다음과 같다.
이므로 정답은 ②이다.
③정의 7.16(p180)의 외적의 정의에 따라 벡터 A, B의 외적은 다음과 같다.
④
18. , , , ,
벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 수직이다. 벡터 와의 내적이 0인 경우는 이다.
이므로 정답은 ④이다.
19.
따라서 정답은 ③이다.
단, R3 벡터공간의 모든 원소가 일차결합으로 표현될 수 있는 것은 아님에 유의해야 한다. 예를 들면, R3 벡터공간의 원소 (1, 1, 1)은 벡터 (2, 1, 0), (-1, 1, 0)의 일차결합으로 표현될 수 없다.
벡터공간 V의 부분공간 S에 대해서, 임의의 실수 k1, k2, ..., kn과 S의 원소 A1, A2, ..., An의 곱인 k1A1 + k2A2 + ... + knAn은 A1, A2, ..., An의 일차결합(linear combination)이라 한다(p219).
20. 정리 10.3에 따라 T에 대응되는 행렬은 T(e1), T(e2), T(e3)를 열벡터로 하여 다음과 같이 표현된다.
T에 대응되는 행렬
따라서 정답은 ① 이다.
21. 정의 10.4에 따라, Ker(T) = T-1(O) = { A∈V | T(A) = O}이므로,
(x+2y,z)=(0,0)을 만족하는 x, y, z를 구하면 된다.
z=0, x=-2y인데, -y=k로 두면, 이다.
22. 벡터 을 기저 의 일차결합으로 나타내면 다음과 같다.
(3, 2) = 1(1, 0) + 2(1, 1)
따라서 기저 에 대한 (3,2)의 좌표는 이다.
23. 정리 12.3에 따라 고유값을 구하면 다음과 같다.
정의 12.1(p298)에 따라 A가 고유벡터이려면 MA = λA이어여 한다.
따라서 정답은 ①이다.
24. 서로 직교인 이 아닌 벡터들의 집합 {}을 직교집합(orthogonal set)이라고 한다. 직교집합 {}에서 각 벡터 의 크기가 1일 때의 직교집합을 단위직교집합이라고 하고, 그 원소들을 단위직교벡터라고 한다(p340).
주어진 벡터 를 의 길이로 나누어 방향은 변함없고 길이만 1이 되도록 하는 과정은 단위
벡터를 만드는 것이다. 그램-슈미트 방법은 내적공간에서 직교기저를 구하는 것으로, 내적공
간 의 부분공간 에서 임의의 기저로부터 직교기저를 구할 수 있다. 따라서 정답은 ④이
다.
25. 정리 15.2의 그램-슈미트(Gram-Schmidt) 직교화 과정에 따라 계산한다.
따라서 정답은 ② 이다.

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