구간추정

목차

1. 구간추정
1-1. 모평균의 추정
1.2 두집단의 평균차이 추정
1.3 모비율의 추정


2. 가설검정
2.1 모평균의 검정
2.2 두집단의 평균차이의 검정
2.3 대응표본의 평균차이 검정(쌍체비교)

본문내용

, 같지 않다)으로 되어있는 것을 양측검정(two-sided test)이라 한다.
①
H_0 ``: ``mu ``= ``mu_0 ~ {rm vs.} ~H_1 ``:``mu ```` `` mu_0``
(단측검정)
bar X ~ge~ mu_0 + z_alpha ``sigma over sqrt n ``left(또는~ {bar X - mu_0 } over { sigma/ sqrt n } ge +z_alpha right)이면~ H_0`` 기각 ``
②
H_0 ``: ``mu ``= ``mu_0 ~ {rm vs.} ~H_1 ``:``mu ```` `` mu_0``
(단측검정)
bar X ~le~ mu_0 - z_alpha ``sigma over sqrt n ``left(또는~ {bar X - mu_0 } over { sigma/ sqrt n } le -z_alpha right)이면~ H_0`` 기각 ``
3
H_0 ``: ``mu ``= ``mu_0 ~ {rm vs.} ~H_1 ``:``mu ``ne`` mu_0``
(양측검정)
bar X ~ge~ mu_0 + z_alpha/2 sigma over sqrt n ~또는~ bar X ~le~ mu_0 - z_alpha/2 sigma over sqrt n``이면~ H_0`` 기각 ``
left (``또는 ~left| {bar X - mu_0 } over {sigma /sqrt n } right |~ge~ z_alpha/2 ``이면~ H_0`` 기각 `` right)``
※
sigma`
를 모르는 경우
sigma`
대신 s를 사용하고
z_alpha `
대신
t`( alpha``; ``n-1` )`
를 사용한다.
SPSS => 통계분석 => 평균비교 => 일표본 t 검정 => 검정값(
mu_0 `
)대입
출력=> 유의확률 < 유의수준(
alpha`
) 이면 귀무가설 기각
2.2 두집단의 평균차이의 검정
독립적인 두 집단
N`( mu_1 , `sigma_1^2 ``) ``
,
N`( mu_2 , `sigma_2^2 ``) ``
에서 각각
X_1 , X_2 , ldots , X_n_1 ``
,
Y_1 , Y_2 , ldots , Y_n_2 ``
의 확률표본을 얻었을 때, '두 집단의 모평균이 같다'고 할 수 있는지, 또는 'X 집단의 평균이 Y 집단의 평균보다 크다'고 할 수 있는지에 관한 검정절차
가설
H_0 ``: ``mu_1 ``= ``mu_2 ~ {rm vs.}&H_1 ``:``mu_1 `` `` mu_2 ``
검정통계량
bar X ``- bar Y ``~ ~left ( sim N`` left( mu_1 - mu_2 , sigma_1^2 over n_1 + sigma_2^2 over n_2 right) right )``
기각치의 유도
k``= z_alpha ``sqrt { sigma_1^2 over n_1 + sigma_2^2 over n_2 }``
(①
sigma_1 , ``sigma_2 ``
를 아는 경우)
k``= ``t`(alpha , n_1 + n_2 -2 `) ``S_p sqrt {1 over n_1 + 1 over n_2 } ``
(②
sigma_1 , ``sigma_2 ``
를 모르는 경우)
의사결정
bar X - bar Y ~ge~ k``이면~ H_0`` 기각 ``,~ bar X - bar Y ~ ~ k``이면~ H_0`` 채택 ``
[참고] 두 분산이 다르고
n_1 , ``n_2 `
가 클 때는 ①에서
sigma_1 , sigma_2 ``
대신, 그 추정값
S_1 , S_2 ``
으로 대치하면 된다.
n_1 , ``n_2 `
이 작고 두 분산이 다를 때는 앞절의 신뢰구간 예와 마찬가지로 기각치는 다음과 같은 형태가 된다.
k= t(alpha , phi ) sqrt{ S_1^2 over n_1 + S_2^2 over n_2 }``
이때 t 분포의 자유도
phi`
는 Satterthwaite의 방법에 의해 계산되어진다.
[참고] 앞에서 고려하지 않은 형태의 대립가설이 가능하고,
①
H_0 ``: ``mu_1 ``= ``mu_2 ~ {rm vs.} ~H_1 ``:``mu_1 ```` `` mu_2``
(단측검정)
{bar X - bar Y} over { sqrt{sigma_1^2 / n_1 + sigma_2^2 /n_2} } le - z_alpha``이면~ H_0`` 기각 ``
②
H_0 ``: ``mu_1 ``= ``mu_2 ~ {rm vs.} ~H_1 ``:``mu_1 ``ne`` mu_2``
(양측검정)
left| {bar X - bar Y} over { sqrt{sigma_1^2 / n_1 + sigma_2^2 /n_2} } right | ~ge ~ z_alpha/2``이면~ H_0`` 기각 ``
SPSS => 통계분석 => 평균비교 => 독립표본 t 검정 => 집단분류변수(예1,2),
자료변수지정
결과 => 등분산검정의 유의확률 > 0.05 => 등분산가정 => 유의확률 <
alpha`
이면 귀무가설 기각
< 0.05 => 등분산가정안됨 => ˝ ˝
2.3 대응표본의 평균차이 검정(쌍체비교)
5) 대응표본의 평균차이 검정
. 대응표본
두 집단의 평균을 비교하려는 문제에서 두집단이 독립인 경우도 있지만, 자료를 얻을 때 한 사람(개체)으로부터 두 번의 실험값 (X,Y)을 얻는 경우와 같이 개체들 간에는 독립이지만 집단간에는 독립이 아닌 경우가 있다. 예를 들어 다음의 자료를 보자.
개체
diet 전
diet 후
체중변화
1
60
57
3
2
54
50
4
3
66
58
8
4
80
83
-3
5
72
70
2
여기서 첫 번째 사람과 두 번째 사람의 체중 변화 자료(3, 4)는 서로 독립이나, 개체들의 다이어트 전 자료와 후 자료(예: 60과 57)는 독립이 아니다. 이러한 형태의 자료를 대응집단(대응표본: paired group)이라 하며, 이들의 평균차이를 검정하는 문제를 쌍체비교(paired comparison)라 한다.
SPSS => 통계분석 => 평균비교 => 대응표본 t 검정 => 대응변수지정
결과 => 유의확률 <
alpha`
이면 귀무가설 기각

키워드

구간추정,   가설검정,   모평균,   대응표본,   쌍체비교