수개념의 지도

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하여 좀더 생각하여 보자.
알고리즘이란 수학에서 꽤 넓은 뜻으로 쓰이는 낱말이다. 그러나 여기서는 계산 알고리즘을 '정식화된 능률적인 계산방법'이란 뜻으로 쓰기로 한다.
계산영역에서 알고리즘이 지도는 능률적인 계산 방법의 지도에 해당된다. 여러 자리수의 덧셈이나 곱셈의 계산은 대개 일정한 형식화된 방법으로 한다. 즉, 계산 알고리즘이 개발되어 있다. 분수를 곱할 때는 분모와 분모, 분자와 분자를 곱한다든지 두 자리 수 이상의 자연수끼리의 곱셈은 이러이러한 순서로 곱한다든지 두 자리 수 이상의 자연수끼리의 곱셈은 이러이러한 순서로 곱한다든지 하는 것은 모두 계산 알고리즘에 해당한다.
알고리즘의 지도에서 핵심적인 것은 그 알고리즘이 이루어지까지의 과정의 지도이다. 흔히 과정의 지도를 등한시하고 반복연습을 통하여 계산절차를 기계적으로 외우게 하는 것이 알고리즘의 지도라고 생각하는 경우가 있는데, 연습을 소홀히 하라는 뜻은 아니지만 이는 두 가지 면에서 볼 때 시정되어야 한다.
그 하나는 계산 기능 자체도 알고리즘의 성립과정을 충분히 지도한 후에 계산 연습을 시키는 것이 능률적이라는 교육심리학자들의 지배적인 견해에 의한다. 따라서 계산 기능자체의 효과적인 지도에서도 알고리즘의 성립과정을 먼저 지도해야 한다.
그 둘째는 알고리즘은 개선되어야 하며 새로운 것이 개발되어야 하기 때문이다. 있는 것의 개선, 새로운 것의 개발을 위해서는 그 구조·조직을 명확하게 파악하고 이해하는 것이 첩경이다. 이런 관점은 수학교육의 목적에서 창의력이 신장이 큰 비중을 차지한다는 점에서 볼 때 당연한 것이라고 하겠다. 이는 마치 기계의 구조, 각 부분의 기능 등을 잘 아는 사람만이 그 기계를 보다 좋은 것으로 발전시킬 수 있고, 새로운 것도 창안해 낼 수 있음과 같다.
앞으로의 수의 연산의 지도는 이상에서 말한 관점 아래에서 고찰될 것이다.
2. 덧셈의 지도
1) 덧셈
(1)의미의 지도 : 구체적인 장면을 통하여 다음 사항을 중점적으로 지도한다.
(a)합이 9이내인 장면에서 '모두', '전체', '더하면', '합하면' 등으로 표현되는 경우를 덧셈으로 해석하고 기호 '+', '='등을 써서 덧셈식으로 나타내고 그 합을 세어서 확인하게 한다.
이 때 "아이들 3명이 놀고 있는데 2명이 더 왔습니다. 모두 몇 명입니까?" 와 같이 한 집합에 다른 한 집합을 시차를 두고 첨가하는 경우와 "남자 3명과 여자 2명이 있습니다. 모두 몇 명입니까?"처럼 함께 있는 두 집합을 합병하는 경우가 있음에 유의한다.
(b)구체적 장면을 덧셈식으로 나타낼 수 있고 덧셈식을 구체적 장면으로 해석할 수 있도록 상상력을 발휘하게 한다. 그리고 덧셈이 적용되는 경우는 모두 두 집합을 합치는 것으로나 수직선상의 이동 등으로 반추상화됨을 경험시킨다. 그리고 이런 시각화를 통해서 덧셈의 의미를 부각시켜서 그것을 개념화·심화한다.
(2) 성질의 지도 : 덧셈의 성질의 지도는 그 의미의 지도 및 기본수끼리의 덧셈 계산과 함께 이루어지는데 다음 사항을 중점적으로 지도한다. 여기서 특히 주의할 것은 교사가 일반화시켜 주지 말 것이며, 아동이 여러 경험을 토대로 스스로 해결할 수 있게 돕는 형식을 취해야한다.
(a) 덧셈의 의미와 기본수끼리의 덧셈의 계산연습을 통하여 피가수와 가수를 바꾸어도 합은 마찬가지임을 확신시킨다. 그리고 이것을 1+7과 같은 것은 7+1로 생각하면 쉽게 알 수 있음을 경험시켜서 그 유용성을 인정하게 한다.
(b) 덧셈의 의미나 계산의 지도와 곁들여서, 세 수를 더하는 경우에는 어느 쪽에서 더하여도 합이 같음을 알게 한다. 예를 들면 3+5+7을 더할 때는 3+5=8을 먼저 계산한 다음에 8+7=15로 더할 수도 있는데 결과는 15로 마찬가지임을 경험시키는 것이다.
이것을 가로 셈으로 하면 왼쪽에서 오른쪽에서 계산하거나 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하여도 된다는 뜻이며, 세로 셈으로 계산할 경우에는 위에서 아래로 계산하여도 된다는 뜻이며, 세로 셈으로 계산할 경우에는 위에서 아래로 계산하거나 아래에서 위로 계산을 하여도 무방하다는 뜻이다. 따라서 계산에 편리한 대로 순서까지 바꾸어서 계산할 수 있음을 충분한 경험을 통해서 일반화하게 한다.
(c) 실제 장면에서는 잘 나타나지 않지만 0의 한 성질로서 0의 개념의 지도와 더불어 0은 더하나 마나인 수라는 것을 인정하게 한다. 억지로 구체적인 장면을 만든다면 "영이는 장난감을 5개 가지고 있었는데 친구한테서 더 받기로 하였다. 그런데 친구가 장난감이 없어서 받지 못했다. 영이의 장난감은 모두 몇 개냐?"와 같은 것을 생각할 수 있을 것이다.
(3)계산의 지도 : 덧셈의 계산의 지도는 크게 기본수끼리의 계산과 두 자리 이상의 수가 포함되는 경우의 계산으로 나누어 생각할 수 있다.
(a) 기본수(0∼9)끼리의 덧셈은 결론적으로 말해서 외우는 도리 밖에 없다. 7+8=15임을 7+(3+5)=(7+3)+5=10+5=15로 생각하는 것은 그 정당화의 수단이지 이 자체가 계획방법일 수는 없다. 우리가 궁극적으로 바라는 것은 7+8=15인 것은 반사적으로 알 수 있어야지 실제 문제 부닥칠 때마다 앞서 말한 식으로 합을 구해서는 곤란하다. 다만 외운다는 것이 뜻도 모르고 암기한다는 것이 아니고 그 의미와 정당성을 이해하고 난 후에 많은 연습을 통해서 거의 반사적으로 합을 생각하여 낸다는 뜻일 뿐이다.
기본수끼리의 덧셈에 숙달시키는 방법은 덧셈표를 이용하는 것도 한 방법일 수 있다. 이런 표를 이용하는 경험을 쌓는 것은 덧셈의 성질을 이해하는 데에도 도움을 될 것이다. 즉 피가수와 가수의 변화에 따른 합의 변동이라든가 교과법칙의 성립 등을 쉽게 관찰할 수 있다.
(b) 큰 수의 덧셈을 계산할 떼에도 위에서처럼 반사적으로 합을 알아낼 수는 없다. 여기서는 일정한 계산 알고리즘을 학습하여 그에 의해서 계산하게 한다. 덧셈의 계산 알고리즘 학습에서 우선 선행되어야 할 것은 그것의 바탕이 되는 지식을 점검하는 일이다. 그것은 덧셈의 의미와 성질, 기본수의 덧셈, 기수법인데 이에 대한 충분한 이해와 숙달이 이루어지지 않고서는 계산법을 이해하고 그에 익숙해질 수가 없다.

키워드

수개념,   지도,   복합적인