방정식과 관련된 이야기1

목차

1-문자의 사용
1)나이 알아 맞히기

2-사랑의 방정식
1)미지수 χ의 유래

3-빈칸에 알맞은 수 넣기
1)돼지 매매문제

4-생활 속의 수학
1)모르는 것을 아는 것으로

5-다리? 눈?
1)우유 마시기

본문내용

이 때, 다리의 개수가 74 개이므로
2χ+ 4 (25 - χ) = 74
라는 식을 만들 수 있다.
이 방정식을 풀면 χ= 13 마리, 즉 악어새는 13 마리, 악어는 25 - 13 = 12마리가 된다.
나이 알아맞히기
아름다운 아가씨가 몇 살인지 알고 싶은데, 직선적으로 "미쓰 김은 몇 살이세요 ?" 하고 묻는다면 "어머머, 여성에게 나이를 묻다니 정말 몰상식한 분이군요 ! " 하고 공박을 받을 뿐만 아니라, 자칫 아가씨의 마음을 영영 잃게 될지도 모른다. 그래서 게임을 하거나, 점이라도 치는 표정으로 아가씨 스스로 계산을 하게 하는 것이다.
"당신의 나이를 2 배해서, 3 을 더해 주시겠어요?"
"어머, 왜요?"
"아니, 그저 심심풀이 삼아 점이라도 쳐볼까 하구요."
"그래요 ? 2 배를 해서 3 을 더한다. 네, 됐어요."
"그럼 그 답을 5 배해서 7 을 더하세요."
"네, 됐어요."
"얼마가 나왔지요?"
"252 예요."
"252 라...... 당신은 매우 겸손하고, 화려한 걸 싫어하며 무척이나 가정적인 성격이라......"
"어머, 숫자를 듣기만 하는 걸로 점을 친단 말이에요?"
사실은 점을 친다는 것은 핑계이고, 평소부터 느끼고 있던 그녀의 성격을 발했을 따름이다. 목적은 달리 있었으니까,. 252 라는 답을 들은 것만으로 그녀의 나이를 알아낸 것이다. 252 에서 22를 빼면 나머지는 230 이 되니까. 23 이라는 것을 알 수 있다.
모르는 사람에게는 불가사의하게 생각될지 모르지만, 방정식을 써서 표현해 보면 그 비밀을 곧 알아낼 수 있다.
그녀의 나이를 χ살이라고 하자.
처음에 나이를 2 배해서 3 을 더하는 것이니까 χ× 2 + 3 으로 계산된다. 이어서 이 답을 5 배해서 7 을 더하니까
(χ×2 + 3 ) 5 + 7 로 나타낼 수 있다. 이 경우 괄호로 묶는 것을 잊어서는 안된다. 이것을 계산한 답이 252 이니까
(χ×2 + 3 ) 5 + 7 = 252 라는 방정식이 성립한다. 분배법칙을 이용하여 괄호를 제거하고 정리하면 10χ+ 22 = 252 이고, 양변에서 22 를 빼면 10χ= 230 , 양변을 10 으로 나누어서 χ= 23 이 얻어진다.
미지수 χ의 유래
왜 미지수를 χ로 표시할까?
일반적으로 방정식에서 미지수는 대부분 χ로 표시하는데, 왜 그럴까?
처음 χ를 사용한 사람은 프랑스의 사상가이며 수학자인 데카르트인데, 프랑스어에는 χ자가 들어가는 단어가 많다. 그래서 인쇄소에서는 χ자의 활자를 여분으로 많이 가지고 있었기 때문이라고 한다.
돼지 매매 문제
8세기 말 아일랜드의 신학자 알킨이 쓴 책 "청년의 마음을 단련하는 문제집"에 다음과 같은 문제가 실려 있다.
동전 100개를 주고 돼지 250마리를 샀다. 즉, 동전 2개에 돼지 5마리의 비율로 산 것이다. 250마리의 돼지를 125마리의 마른 돼지와 125마리의 살찐 돼지로 구분하였다. 마른 돼지는 동전 1개에 3마리의 비율로 120마리를 팔아서 동전 40개를 받았다. 또, 살찐 돼지는 동전 1개에 돼지 2마리의 비율로 120마리를 팔아서 동전 60개를 받았다.
결국 살 때와 같이 동전 2개에 돼지 5마리의 비율로 판 꼴이다. 그런데 동전 100개를 이미 받았는데도 마른 돼지 5마리와 살찐 돼지 5마리가 남아 있다. 왜 그럴까?
<답> 동전 2개에 5마리를 판 것이 아니고 동전 20개에 48마리를 판 것이다.
( 동전 5개에 12마리를 판 것이다. )
아라비아 숫자의 시초는 ?
우리가 지금 사용하고 있는 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 흔히 아라비아 숫자라고 하지만 아라비아인이 이들 숫자를 만든 것이 아니고, 인도에서 처음 시작한 것을 아라비아인들이 유럽으로 전한 까닭으로 그 이름이 생긴 것이다.
'모르는 것'을 '아는 것'으로
복잡한 문제를 방정식을 세워 간단히 해결할 수 있도록 도와 준 디오판토스(Diophantos ; 246 ? ∼ 330 ? )는 그의 업적과 더불어 묘비에 새겨진 글귀로 더욱 유명하다. 그의 묘비에는 다음과 같은 글귀가 실려 있다고 한다.
" 이 무덤 아래 디오판토스 잠들다. 이 경이에 찬 사람, 여기 잠든 이의 기예의 힘을 빌어 여기에 그의 나이를 적는다.
그는 일생의 1/6을 소년으로 지내고, 그 후 일생의 1/12을 보내고 수염을 길렀다. 또 그 후, 일생의 1/7이 지나고 결혼하여 5년 후에 아이를 낳았다.
슬프구나. 그 애는 사람들의 사랑과 보살핌 속에 아비의 생애의 절반을 살고 세상을 떠나고 말았다. 이 슬픈 시련을 견디며 지내기를 4년, 아비 또한 이 땅의 삶을 마쳤도다."
그래서 도대체 몇 살까지 살았다는 걸까? 여러 학생들은 죽어서까지 사람을 피곤하게 한다고 하겠지만 디오판토스의 나이 문제는 겨우 '일차방정식'이다.
이 비문에 따라 디오판토스가 살은 나이를 χ로 놓고 식을 세우면 다음이 성립한다.
χ/6 + χ/12 + χ/7 + 5 + χ/2 + 4 = χ
위의 식을 정리하여 풀면 χ=84이다. 즉, 84살까지 살았다.
이 문제로 우리는 다음과 같은 교훈을 얻을 수 있다.
"모르는 것이 나오면 과감히 '모르는 것'을 '아는 것'으로 하여 일단 식으로 표현해 보려는 노력을 해야 한다."
우유마시기
우유 한 병이 있다. 먼저 그 반을 A가 마시고, 다음에 그 나머지 반을 B가 마시고, 가시 그 나머지의 반을 A가 마시고, …… 이런 방법으로 끝까지 계속 한다고 하자. 그리고 마지막에 우유 값을 지불할 때, A와 B가 각각 자기가 마신 양에 비례해서 돈을 지불한다고 하자.
한 병에 600원이라면 A, B가 지불해야 할 금액은 각각 얼마가 될까?
A가 마신 우유의 양은 전체 양의
1/2 + 1/8 + 1/32 + …
B가 마신 우유의 양은 전체 양의
1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 1/2(1/2 + 1/8 + 1/32 + …)
즉, A와 B가 마신 우유의 양의 비는 2 : 1이 된다. 그러므로 A가 400원, B가 200원을 지불하면 된다.
이 때, 우유의 양이 많거나 또는 아무리 적어도 이 비는 변하지 않는다.

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