푸리에급수,푸리에변환,라플라스변환

목차

1.푸리에급수
1-1 삼각함수형의 푸리에 급수

1-2 삼각함수의 푸리에 계수 구하기

1-3 복소수형의 푸리에 급수

1-4 푸리에급수 전개가 가능하기 위한 조건
2.푸리에변환
2-1 푸리에변환
.
2-2 푸리에변환쌍 표

3.라플라스변환
3-1 양측라플라스변환

3-2 편측라플라스변환

3-3 라플라스변환 쌍

3-4 라플라스변환 연산
4. 각 변환의 쓰임새와 상호관계
4-1 각 변환의 쓰임새

4-2 푸리에변환과 라플라스변환의 상호관계

본문내용

변환쌍을 이룬다.
3-2 편측라플라스변환
많은 회로해석 문제에서 강제함수와 응답함수가 모든 시간에 항상 존재하는 것이 아니라 어떤 특정 순간, 보통 t=0에서 시작한다. 따라서 t<0에는 존재하지 않는 시간함수에 대해서나 또는 t<0에서의 동작은 관심의 대상이 된지 않는 시감함수에 대해서는 시간영역표현을
v(t)u(t)
로 할 수 있다. 그러면 이에 상응하는 라플라스 변환은
V(s)= int from { - INF } to { INF } { e^{ -st } ``v(t)``u(t)``dt } = int from { 0^{ - } } to { INF } { e^{ -st } ``v(t) } ``dt
가 된다. 이것을
v(t)
의 편측라플라스변환, 또는 편측임이 분명할 때는 단순히
v(t)
의 라플라스변환이라고 한다. 역라플라스변환식은 바뀌지 않고 그대로이나 계산결과는 t>0일 때만 유효하다고 본다. 라플라스변환의 정의식에서 하한을
t=0^{ - }
로하는 것은 임펄스나 더높은 차수의 특이함수 때문에 t=0에서 생기는 불연속의 영향을 포함시키기 위한 것이다.
필기체
laplace
이 라플라스변환과 역라플라스변환연산을 표시하는 데 쓰이기도 한다. 즉,
V(s)= laplace {V(t)}
v(t)= laplace ^{ - } {V(s)}
3-3 라플라스변환 쌍
f(t)
F(s)
delta (t)
1
u(t)
{ 1 } over { s }
tu(t)
{ 1 } over { s^{ 2 } }
{ t^{ n-1 } } over { (n-a)! } u(t),`n=1,2,...
{ 1 } over { s^{ n } }
e^{ -at } u(t)
{ 1 } over { s+a }
te^{ -at } u(t)
{ 1 } over { (s+a)^{ 2 } }
{ t^{ n-1 } } over { (n-a)! } e^{ -at } u(t),`n=1,2,...
{ 1 } over { (s+a)^{ n } }
{ 1 } over { beta -a } (e^{ -at } -e^{ - beta t } )u(t)
{ 1 } over { (s+a)(s+ beta ) }
sin``wt``u(t)
{ w } over { s^{ 2 } +w^{ 2 } }
cos``wtu(t)
{ s } over { s^{ 2 } +w^{ 2 } }
sin``(wt+ theta )u(t)
{ s``sin theta +w``cos theta } over { s^{ 2 } +w^{ 2 } }
cos``(wt+ theta )u(t)
{ s``cos theta -w``sin theta } over { s^{ 2 } +w^{ 2 } }
e^{ -at } ``sin``wtu(t)
{ w } over { (s+a)_{ } ^{ 2 } +w^{ 2 } }
e^{ -at } ``cos``wtu(t)
{ s+a } over { (s+a)_{ } ^{ 2 } +w^{ 2 } }
3-4 라플라스변환 연산
연산
f(t)
F(s)
더하기
f_{ 1 } (t) PLUSMINUS f_{ 2 } (t)
F_{ 1 } (s) PLUSMINUS F_{ 2 } (s)
곱하기
kf(t)
kF(s)
시간미분
{ dt } over { df }
sF(s)-f(0^{ - } )
{ d^{ 2 } f } over { dt^{ 2 } }
s^{ 2 } F(s)-sf(0^{ - } )-f^{ ' } (0^{ - } )
{ d^{ 3 } f } over { dt^{ 3 } }
s^{ 3 } F(S)-s^{ 2 } F(s)-sf(0^{ - } )-f^{ ' } (0^{ - } )
시간적분
int from { 0^{ - } } to { t } { f(t)``dt }
{ 1 } over { s } F(s)
int from { -x } to { t } { f(t)``dt }
{ 1 } over { s } F(s)+ { 1 } over { s } int from { -x } to { 0^{ - } } { f(t)``dt }
콘벌루션적분
f_{ 1 } (t)
*
f_{ 2 } (t)
F_{ 1 } (S)F_{ 2 } (s)
시간변이
f(t-a)u(t-a),`a GEQ 0
e^{ -as } F(S)
주파수변이
f(t)e^{ -at }
F(s+a)
주파수미분
-tf(t)
{ dF(s) } over { ds }
주파수적분
{ f(t) } over { t }
int from { s } to { x } { F(s)ds }
스케일링
f(at),`a GEQ 0
{ 1 } over { a } F( { s } over { a } )
초기값
f(0^{ + } )
lim from { s rarrow x } { sF(s) }
최종값
f( INF )
lim from { s rarrow x } { sF(s) }
, all poles of
sF(s)
in LHP
시간주기성
f(t)=f(t+nT),#``````````````n=1,2,...
{ 1 } over { 1-e^{ -Ts } } F_{ 1 } (s),
where
F_{ 1 } (s)= int from { 0^{ - } } to { T } { f(t)e^{ -st } ``dt }
4. 각 변환의 쓰임새와 상호관계
4-1 각 변환의 쓰임새
푸리에급수 : 연속적인 주기 신호의 주파수 영역의 신호해석을 할 때 사용
푸리에변환 : 연속적인 비주기 신호의 주파수 영역의 신호해석을 할 때 사용
(시스템과 신호가 모두 안정한 경우에만 존재)
ex) 주파수 응답, 입력 필터링 방법을 구할 때 사용
푸리에 해석의 단점 : 절대적분가능성질을 만족시키는 신호에만 적용 가능
라플라스변환 : 푸리에 해석의 단점을 보완하기 위해 연속시간 푸리에변환을 일반화
(불안정한 신호와 시스템 까지도 표현할 수 있다)
ex) 주어진 입력에 대한 출력을 구하는 경우에 사용
4-2 푸리에변환과 라플라스변환의 상호관계
푸리에변환은 라플라스변환의 부분집합(라플라스변환을 허수 축에서만 생각)이다.
라플라스변환은 푸리에변환을 쉽게 해준다.
푸리에 변환에서 s=j 로 대치시키면, 신호 f(t) 에 대한 라플라스 변환 v(s)가 된다.

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