[과외]고등 수학 1 III-3.함수의 극한과 연속성

목차

없음

본문내용

a=-4, b=-6
∴ f(0)=b=-6
14. Ans) ①
Sol)
(ⅰ) f(x)는 일차식이다.
(ⅱ) f(x)의 최고차항의 계수는 2이다.
∴ f(x) = 2x+c
그런데 f(0)=-4 이므로 c=-4
∴ f(x) = 2x-4
또한 에서 극한값이 0이 아닌
실수이고 x→2 일 때,
(분자)→0 이므로 (분모)→0이어야 한다.
∴ a=-2
따라서,
∴ a + b + f(1) = -2
16. Ans) ③
Sol) 이므로
이므로
㉮,㉯에서
1+a=4+2a ∴ a=-3
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
17. Ans) ⑤
Sol) ① (반례)
② (반례) f(x)=x, g(x)=-x일 때,
③ (반례) f(x)=[x], g(x)=x, a=0
이지만
④ (반례) 일 때,
f(x) ⑤ 다항함수 f(x), g(x)에 대하여 f(x)g(x)도 다항함수이므로 연속함수이다. 따라서, 연속함수의 정의에 의하여
이다.
19. Ans) -1
Sol) 함수 f(x)g(x)가 x=1에서 연속이 되려면
이 성립해야 한다.
먼저, 극한값 이 존재해야 하므로
여기서
∴ 1+k=4(1+k) ∴k=-1
k=-1이면 ㉠이 성립하므로 f(x)g(x)는 x=1에서
연속이 된다.
18. Ans) ③
Sol) x→2일 때 (분모) →0 이므로 x→2일 때
(분자)→0이어야 한다.
따라서 4+2a+b=0
b=-2a-4 이므로
∴ (주어진 식)
∴ a=-1, b=-2
∴ a+b=-3
20. Ans)
Sol) f(x)=(x-1)(x+1)g(x)라 하면,
그러므로 최저차의 g(x)=x
따라서 최저차의
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
21. Ans) ③
Sol) ⅰ)
∴ x=0에서 연속
ⅱ)
의
값은 존재하지 않는다.
∴ x=0에서 미분불가능
23. Ans) ⑤
Sol) g(x)=f(x)-x라 하면 g(x)는 연속함수이므로
방정식 g(x)=0이 (0, 1)에서 오직 한 개의
실근을 가지려면 g(0)g(1)<0이어야 한다.
22. Ans) ①
Sol) 에서 g(1)=0
f(x)가 x=1에서 연속이므로
a+3=0 ∴ a=-3
∴
∴ a+k=1
24. Ans) ②
Sol) 이고
∴ n=3
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
25. Ans) ⑤
Sol)
그러므로 극한값은 존재하지 않는다.
27. Ans) ②
Sol) 이므로
∴ a+b=11
26. Ans) ②
Sol) 가 x=-1에서 연속이므로
∴ a=-1, b=0 ∴ a+b=-1
28. Ans) ⑤
Sol)
의 값은 없다.
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
29. Ans) 1
Sol) (ⅰ)
a=0, b=1
⇒ 1+c+d=0
⇒ d=-c-1
∴ c=1, d=-2
∴ f(2)=1
31. Ans) -3
Sol) p(x)=ax+1, q(x) = 라 하면
p(-1)=q(-1), p(2)=q(2)
⇒ -a+1=1+2+b
2a+1=4-4+b
⇒ a+b+2=0
2a-b+1=0
⇒ a=-1, b=-1
∴ 2a+b=-3
30. Ans) ⑤
Sol) x-2=t라 하면
32. Ans) ①
Sol)
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
33. Ans)
Sol)
∴ f(x) = 6x + k (k:상수) … ㉠
∴ f(x) = 6x - 12
35. Ans) -π
Sol) (ⅰ)<1
f(x) = cosax (∵)
(ⅱ)>1
(ⅲ) x=-1일 때
한편,
∴ x=-1에서 연속이려면
∴ cosa = -1
∴ 음수 a의 최대값은 -π
34. Ans) ⑤
Sol)
∴의 값은 없다.
36. Ans) ①
Sol)
∴ n-1=1
∴ n=2
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
37. Ans)
Sol)
39. Ans) ③
Sol) f(2)f(3)<0이면 연속함수 y=f(x)의 그래프는 구간 (2, 3)에서 적어도 한번 x축과 만난다.
38. Ans) -2
Sol) (ⅰ) x→4-0 ⇒
40. Ans) ⑤
Sol)
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
41. Ans) ④
Sol)
OP=OQ에서
∴직선
∴ R의 y좌표 :
∴
43. Ans) ③
Sol)
42. Ans)
Sol)
44. Ans) ③
Sol) 점 P를
라 하면
(단, -1 따라서, t->0일 때
즉 에서 θ=135°
∴의 극한값은 135°
(별해) 에서 원점 O에서의 접선의 기울기는 즉 x축의 양의 방향과 45°
의 각을 이루므로 점 P가 원점에 한없이 가까이 갈 때에 가까이 간다.
Ⅲ. 극한과 연속
3. 함수의 극한과 연속성
45. Ans) ④
Sol) 주어진 식 의 분자를 유리화하여 계산하면
47. Ans) ⑤
Sol) (ⅰ)y=f(x)g(x)는 구간 [-1, 3]에서 두 함수
f(x), g(x)는 모두 연속이므로 연속함수의
성질에 의해 y=f(x)g1(x)도 연속이다.
(ⅱ)y=f(x)g2(x)는 함수 g2(x)가 x=0에서만
불연속이므로 x=0인 점에서의 연속성만
조사한다.
이고
f(0)g2(0)=02=0이므로
x=0에서 f(x)g2(x)는 연속이다.
따라서 구간 [-1, 3]에서 함수
y=f(x)g2(x)도 연속이다.
(ⅲ) y=f(x)g3(x)는 함수 g3(x)가 x=2에서만
불연속이므로 x=2인 점에서의 연속성만 조사한다.
이고 f(2)g3(2)=00=0이므로
x=2에서 f(x)g(x)는 연속이다.
따라서, 구간 [-1, 3]에서 함수
y=f(x)g3(x)도 연속이다.
46. Ans) ④
Sol) f(-x)=f(x)이므로 우함수, 즉 그래프는 y축에
대칭이다.
>5, 즉 x<-5 또는 x>5이면 f(x)=0
<5, 즉 -5 f(x)=10이 되는 x는 오직 한 개 뿐인데
f(x)는 우함수이므로 f(0)=10, 즉 x=0일 때
최대이다.
f(x)가 연속함수이므로
-10≤f(x)≤10, f(-5)=f(5)=0
그 그래프 개형은 다음과 같다.
f(x)=5가 되는 x는 두 개 이상 존재한다.
또한 f(x)가 최소, 즉 f(x)=-10인 x는 두 개 이상
존재한다.
f(x+5) 또는 f(x-5)가 0이 되므로
f(x+5)f(x-5)=0
따라서, 옳지 않은 것은 ④번 뿐이다.

키워드

정수,   연속함수,   다항함수,   다항식,   자연수