푸리에 급수,변환 최종

소개글

푸리에 급수,변환 최종에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

수렴을 하려면 다음 세가지 조건을 만족시켜야 합니다.
1) f(x)가 주기가 2π인 주기함수 2) [-π,π]에서 f(x)의 불연속점이 유한개
3) f(x)가 연속인 점에서 미분가능
그리고 위의 세 가지 조건을 만족시키고, 불연속점에서는 다음을 따릅니다
● f(x)가 x0 [-π,π]에서 불연속일 때, 좌미분계수 f'(x0-), 우미분계수 f'(x0+)가 존재하면 x0에서 Fourier 급수의 값은 으로 수렴합니다.
간단히 말해서, 두 점의 평균값으로 수렴하는 것입니다.
※적분 변환의 정의
푸리에 변환과 라플라스 변환은 모두 적분 변환의 일종이다. 적분 변환은 "적분을 이용하여 함수를 함수로 옮기는 사항"입니다. 수학적 정의는 다음과 같습니다.
위의 식을 통하여 풀이하면. 먼저 함수 K(u,v)는 독립 변수가 u, v 두 개인 함수입니다.
이 적분 변환의 커널 함수라고 하고. 따라서 적분 변환은 함수 f(u)에 커널 함수 K(u,v)를 곱하고 이 것을 어떤 구간 [u1, u2]에 대하여 정적분 한 것입니다. 이렇게 변환을 시키고 나면 원래 u의 함수였던 f(u)가 v의 함수인 F(v)로 바뀌게 됩니다.
왜 적분 변환을 하는 것일까?
함수 f(u)를 u의 영역에서 처리하기 어려울 때, 적분 변환을 통하여 v의 영역에서 처리한 후, 다시 u의 영역으로 돌리기 위해서 입니다. (이는 역변환이 존재할 경우에 한정되지만, 대부분 존재합니다.)
푸리에 변환의 정의
푸리에 변환의 정의는 다음과 같습니다.
여기서 커널 함수는 e^(-jwt)로 시간 t와 주파수 w(=2*pi*f)의 이변수 함수로, 이 변환을 통해서 시간의 함수 f(t)는 Time Domain에서 Frequency Domain으로 옮겨집니다. 이때 적분이 가능하려면, 적분 변환의 정적분 결과가 수렴해야 합니다. 푸리에 변환에서 커널 함수인 e^(-jwt)의 크기는 1이므로, 수렴조건은 다음과 같이 주어지게 됩니다.
역 푸리에 변환은 다음과 같습니다.
성질
비주기 신호
푸리에 변환
선형성
시간 이동
주파수 이동
공액복소수
시간반전
시간압축 및 확장
중첩적분
곱셈
미분
적분
주파수상의 미분
실수신호의 공액대칭성
real
실수 우신호
real and even
real and even
실수 기신호
real and odd
purely imaginary and
odd

우신호와 기신호의 분해

[x(t) real]
[x(t) real]
푸리에 변환 표

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