[과외]고등 수학 수와 식 01

목차

핵심기출문제

해답과 풀이

본문내용

나타낼 수 있다.
13. 다음 식을 만족하는 실수 의 합은?[선덕, 정의여]
① 1② 3③ 5④ 7⑤ 9
14. 다음은 이 무리수임을 증명한 것이다.
증명
을 유리수라고 가정하면 ㉮ 인 양의 정수 에 대하여 로 나타낼 수 있다. 양변의 제곱하여 정리하면,
따라서, ㉯ 이 3의 배수이므로 도 3의 배수이다. 그러므로 (은 양의 정수)으로 놓으면 즉, ㉰ 이 3의 배수이므로도 3의 배수이다. 이것은 가 ㉮ 라는 가정에 모순이다.
위의 증명에서 ㉮∼㉰에 알맞은 것을 순서대로 나타낸 것은?[건대부, 자양]
① 서로소, ② 서로소, ③ 기약분수,
④ 기약분수, ⑤ 홀수,
15. 는 양의 유리수이고 는 무리수일 때, 다음 중 반드시 무리수인 것을 고르면?
[중동, 은광여]
① ② ③ ④
⑤ ⑥
16. 정수 전체의 집합 의 임의의 두 원소 에 대하여 연산 를 로 정의할 때, 연산 에 대한 항등원과 3의 역원을 구하여라.[경신, 마포]
17. 가 1이 아닌 실수이고, 집합 가 곱셈에 대하여 닫혀 있을 때 의 값을 구하여라. [대일, 영일]
18. 일 때, 를 간단히 하여라.[동대부, 상문]
19. 일 때, 의 값은?[서라벌, 중대부]
20. 유리식 를 간단히 하면?[관악, 중동]
① 0② 1③
④ ⑤
21. 두 이차식 의 최대공약수 가 일차식이고, 일 때, 의 값은?[오산, 구로]
22. 인 기약분수 이 유한소수가 되는 모든 양의 정수 의 값의 합은?
[대광, 예일여]
① 57② 65③ 195④ 214⑤ 630
23. 다음은 가 무수임을 증명한 것이다.
가 유리수라고 가정하면, ㉠ 인 자연수 에
대하여 꼴로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하면 이므로 이다.
따라서, ㉡ 은 2의 배수이다.
㉡ 라 놓으면 에서이 된다.
따라서 ㉢ 도 2배의 배수이다. 이것은 이 ㉠ 라는 가정에 모순된다.
그러므로 는 유리수가 될 수 없고 무리수이다.
위의 증명 과정에서 ㉠ , ㉡ , ㉢ 에 알맞은 것을 순서대로 적으면?[세화, 경문]
① 홀수, ② 서로 소, ③
④ 홀수 ⑤ 서로 소,
24. 가 유리수이고, 일 때, 의 최대값은?
[충암, 명지]
① 0② 2③ 4④ 6⑤ 8
25. 실수 전체의 집합에서 정리되는 다음 연산 중 에 대하여 결합법칙이 성립하는 것은?
[신일, 경동]
① ② ③
④ ⑤
26. 두 실수 에 대하여 연산 를 로 정의할 때,
라 한다. 이 때, 의 값은 (단, )[잠실, 여의도여]
① ② ③ ④ ⑤
27. 다음은 연산법칙을 이용하여 식을 계산한 것이다. 분배법칙을 사용한 곳은?
[은광여, 반포]
……………㉮
……………㉯
……………㉰
……………㉱
……………㉲
① ㉮② ㉯③ ㉰④ ㉱⑤ ㉲
28. 임의의 양의 실수 에 대하여 연산 를 로 정의한다. 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 고르면?[숭의여, 인창]
<보기>
I. 교환법칙이 성립한다.
II. 결합법칙이 성립한다.
III. 항등원이 존재한다.
IV. 양수 의 역원이 존재한다.
① I② I, II③ I, III④ I, III, IV⑤ I, II, III, IV
29. 실수 에 대하여
이 성립할 때, 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 적은 것은?[우신, 신일어]
<보기>
I.
II.
III.
① I② I, II③ I, III④ I, III, IV⑤ I, II, III, IV
30. 양의 실수 에 대하여 연산 를 라 정의하고 를 를 와 같이 나타낸다. 예를 들면, 를 그림으로 나타내면 이다.
일 때, 다음 보기 중 그 값이 옳은 것을 모두 고르면? [성남, 영등포]
<보기>
I.
II.
III.
① I② I, II③ III④ II, III⑤ I, II, III
핵심기출문제………
해답과 풀이
[수와 식편]
1. ⑤
따라서 은 2, 3, 7을 소인수로 가져야 한다.
그러므로 최소의 양의 정수는
2. ④
3. ⑤
4. ⑤
이므로
에서
이므로
5. ②
㉠
㉡
㉠, ㉡의 최대공약수도 이차식이므로
6. ②
문제의 뜻에서
대우를 써서
따라서 의 두 실근을 α, β라하면
또한, 이므로
7. ①
㉠-㉡하면
이므로
㉠+㉡하면
㉢, ㉣에서
8. 일 때, 일 때,
일 때,
이므로
일 때,
이므로,
9.
따라서, 결합법칙이 성립하려면
10. 항등원 의 역원
항등원을 라 하면,
이것이 모든 실수 에 대하여 성립하려면
의 역원을 라 하면,
11. ③
가 만난다면 또는 에서만 만날 수 있다.
이 유리수이고 이 무리수이면 만날 수 없다.
과 이 동시에 유리수이면 는 만날 수 있다.
예를 들면 이면
의 속력이 같으므로
(단, 는 만날 때까지 걸린 시간 )
로 무수히 많다.
12. ④
유리수를 소수로 고치는 것에 대한 설명이다.
13. ③
우선 에 대하여 정리하면
완전제곱식으로 변형하면
는 실수이므로
두 식을 연립하면
14. ①
을 유리수라 하면 (기약분수)로 나타낼 수 이TEk.
15. ③, ④
(1) 이면 은 유리수
(2) 이면 은 유리수
(5) 이면 은 유리수
(6) 이면 은 유리수
따라서, 무리수인 것은 (3), (4)이다.
16. -1, -5 항등원을 라 하면
에서
또, 3의 역원을 라 하면
에서
17. -1 또는 0
라 하면 이므로 또는
18. 이므로
따라서
19. ④
양변을 제공하여 정리하면
∴ (준식)
20. ③
(준식)
21. ②
22. ④
에서 , 즉
이 유한소수가 되려면
(α, β는 0 또는 자연수 γ, δ는 0 또는 1)의 꼴이 되어야 한다.
23. ⑤
24. ③
에 대하여 정리하면
가 유리수이므로, 도 유리수이다.
이 중 를 최대로 하는 것은
25. ③
③ 일 때,
26. ②
같은 방법으로
따라서
27. ④
(결합법칙)
(교환법칙)
(결합법칙)
(분배법칙)
28. ②
I은 명백하다.
II.
. 항등원을 라 하면, 에서 임의의 양수 에 대하여
를 만족하는 가 없으므로 항등원은 존재하지 않는다. (거짓)
IV. 항등원이 존재하지 않으므로 역원도 존재하지 않는다. (거짓)
29. ⑤
㉠
따라서, 조건식은
㉡
㉠+㉡ :
이므로
따라서, I, II, III은 모두 옳다.
30. ⑤
연산 의 정의에 유의하여 그림에서 주어진 것을 연산 기호로 나타내면
I.
II.
III.
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정수,   등식,   자연수,   다양식,   유리수,   무리수