[과외]고등 수학 도형의 방정식-4

목차

문제 111~150

본문내용

사각형 T' CTA는 네 각의 크기가 모두 같고 네변의
길이가 모두 같은 정사각형이므로 ∠CAT=45°, 직각
사각형 CAT에서 이므로
116. ③
원 위의 점 에서의 접선의 방정식은
이 직선이 을 지나므로
㉠ 또, 은 원 위의 점이므로
㉡
㉠, ㉡에서
117.
라 하면,
①
②
①, ②에서
이 때, 점 P가 원 위를 지나므로 대입하면
118.
점 라 하면, R은 직선 에 대하여 P와 대칭이므로 이다.
또한, 라 하면 R은 Q를 축 방향으로 1만믐 평행이동한 점이므로
①
또, P와 Q는 직선 에 관하여 대칭이므로
따라서, ②
③
①, ②, ③에서 를 소거하면
119.
점 이라 하면 원 에 그은 접선의 길이는 이다.
또한, 에 그은 접선의 길이는 이다.
조건에서 이므로
양변을 제곱하여 정리하면,
따라서, 구하는 자취의 길이는
120. ②
원과 축과의 교점을 C, D라 하고, 점 P에서 원에 그은 접선의
접점을 T라 하면
121. ③
의 중심 (0, 0)에서 에 이르는 거리가 2이므로
㉠
의 중심(0, 2)에서 에 이르는 거리가 2이므로
㉡
㉠, ㉡에서
122. ⑤
P, Q가 각각 원 위의 점이므로
코시-슈바르츠 부등식에 의하여
P, Q는 원 위를 연속적으로 움직이므로 는 에서 까지의 모든 실수값을 가질 수 있다.
123. ⑤
두 원의 중심을 라 하면 이 원이 축에 접하므로 반지름의 길이는 이고, 원의 방정식은 ㉠
㉡
㉠이 점 (6, 2)를 지나므로 ㉢
㉡을 ㉢에 대입하여 정리하면
따라서 구하는 거리는
124. -1
접선의 기울기를 이라 하면
이것과 포물선과의 공유점을 구하는 식은
접하려면
이 방정식의 두 근을 라 하면 는 두 접선의 기울기이므로 두 접선이 수직이기 위해서는
125. ⑤
점 (2, 4)에서의 접선의 방정식은
따라서 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 -1이다. 또, 이 포물선의 초점은 (2, 0)이므로 구하는 방정식은
126.
①, ②
①위의 점 을 잡으면 ③
점 의 접선의 방정식은 ④
그리고 ②에 평행한 직선이므로 기울기가 1이다.
④에서
③에 대입하면 그러므로 접점의 좌표는 P(1, 2)
P에서 직선 ②까지의 거리가 최단거리이므로
127. -3
①, ②, ③
③을 ①에 대입하고 정리하면
접하므로 ④
③을 ②에 대입하고 정리하면
접하므로 ⑤
④, ⑤에서
128. ②
①, ②에서
③
③의 두 근 는 두 교점의 의 좌표이고
따라서 중점의 좌표는
②에 대입하면
그런데 방정식 ③은 서로 다른 두 실근을 가지므로
즉, 구하는 자취의 방정식은
129. (1) ①
점 (2, 3)을 지나고 기울기가 인 직선 를 점 (1, 2)에 관하여 대칭이동하면 대신 를 대입하면 되므로
이것을 축에 간하여 대칭이동하면
이것이 점 (1, -3)을 지나므로
(2) ⑤
선분 PQ의 기울기는 이므로
선분 PQ의 중점은 이므로
㉡
㉠, ㉡에서
130. ④
주어진 식을 표준형으로 변형하면
라 놓으면
그러므로 에서 점 은 (3, -1)이다.
131. ⑤
㉠
꼭지점이 (-1, 2)인 포물선은 ㉡
㉠과 ㉡에서 계수를 비교하면
132. ⑤
처음 좌표 와 새로운 좌표 사이에 인 관계가 성립하므로
이것을 정리하면
따라서 상수항은 -15이다.
133. ①
대신 을, 대신 을 대입한다.
따라서,
134. ⑤
점 (2, )에 관하여 점 와 대칭인 점이 이므로
이것을 에 대입하여 정리하면
136.
일 때, 일 때, 로 C의 영역은
다음 그림의 색칠한 부분(경계 포함)이다.
과 가 접할 때,
그림에서
따라서,
137.
①
일 때, ①은
또한, ①은 축에 대하여 대칭이므로 ①이 표시하는 영역은
오른쪽 그림의 색칠한 부분으로 경계를 포함한다.
138. ③
점 가 원 의 내부 및 둘레 위에 있으므로 이다.
따라서 구하는 최소값은 2이다.
139. ③
로 놓으면
위의 식을 정리하면
의 높이를 라 하면 위의 그림에서 이고, 일 때 최소값을 가진다.
140. ①
을 정리하면
두 원이 직선 에 대하여 대칭이므로 반지름의 길이가 같다.
㉠
또, 두 원의 중심 C(0, 0), C'(a, b)는 직선 에 대하여 대칭이므로 의 기울기는 -1이고, 의 중점은 직선 위에 있어야 한다.
㉡
㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
141. ①
주어진 식을 에 대하여 정리하면
이고, 두 직선의 교점은 (1, 2)이다. 한편, 원점에서 점 (1, 2)를 지나는 직선에 이르는 거리가 최대일 때는 원점과 점 (1, 2)를 지나는 직선에 수직일 때이므로 구하는 기울기는 이다.
142. ②
가 포물선 위의 점이고 또 점 와 직선 사이의 거리를 이라 하면
①, ②
①을 ②에 대입하면
일 때 이 최소가 된다.
①에 의해서 따라서
143.
의 최점은 (1, 0)
점 (1, 2)를 지나는 접선의 방정식은
이와 수직이고 초점을 지나는 직선의 방정식은
144. ②
각 부등식의 영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
위의 그림에서
145. ⑤
집합 A는 중심(0, 0), 반지름 2인 원의 내부 및 경계이고, 집합 B는 중심 , 반지름 1인 원의 내부 및 경계이므로, , 즉 이기 위한 조건은
146. ③
축에 관하여 대칭이동하면
과 이 일치하려면
147. ⑤
를 원점에 관하여 대칭이동하면
이것을 직선 에 관하여 대칭이동하면
따라서 를 직선 에 관하여 대칭이동한 것과 같다.
148. ③
점 A의 직선 에 관한 대칭점을 라 하면,
의 중점이 직선 위에 있으므로
㉠
⊥(직선 y=x+1)이므로
㉡
㉠, ㉡을 풀면
따라서 구하는 최소값은 선분 A'B의 길이이므로 이다.
149. (1) 최대값 1, 최소값 -1
(1) 라 하면, ①
①이 (1, 0)을 지날 때, 최대이므로 최대값은 1
또, (0, -1)을 지날 때, 최소이므로 최소값은 -1이다.
∴최대값 1, 최소값 -1
(2) 최소값 1, 최소값
(2) 이라 하면, 원이 직선 에 접할 때 최소이다.
즉,
또, (1, 0)을 지날 때 최대이므로 최대값은
150. 최대값 1, 최소값
라 하면, ①
①이 (1, 1)을 지날 때, 최대이고 (3, 2)를 지날 때, 최소이다.
∴최대값 1, 최소값
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