[과외]고등 수학 2학기 중간 모의고사 문제(70)

목차

없음

본문내용

오른쪽 그림에서
직선 의 방정식은
따라서 이므로
정리하면
그런데 이므로
22. ③
①
한편 의 꼭지점, 초점, 준선은 각각 (0, 0), (3, 0), 이므로 ①의 꼭지점, 초점, 준선은 각각 (1, 2), (4, 2),
23. ④
꼭지점이 이고 초점거리가 1이므로 포물선의 방정식은
①
이것이 직선 에 접하므로
①에 대입하여 정리하면
24. ②
다시 에 의하여 ①
한편 의 초점은 (1, 0)이므로 ①의 초점은
25. ④
원의 중심이 축 위에 있으므로 중심의 좌표는 이고
원의 방정식은 이것과 에서 를 소거하면
접하려면
26. ②
로 놓으면 ①
이 직선이 점 (3, 4)를 지날 때 는 최대이고
곡선 와 접할 때 는 최소가 된다.
(ⅰ) ①이 점 (3, 4)를 지날 때
(ⅱ) ①이 곡선 와 접할 때
따라서 최대값과 최소값의 차는 7-(-2)=9
27. ②
로부터
따라서 영역은 그림의 빗금친 평행사변형으로
구하는 넓이는 1×1=1
28. ④
꼭지점이 (0,0)
축의 방향으로 1, 축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 꼭지점 (1, -2)
29. ②
㉠
㉠은 점 (-1, 0)을 지날 때 최대이다.
또, 포물선 ㉠이 직선 에 접할 때 최소이다.
30. ④
사다리꼴 ABCD의 넓이 S는
㉠
이므로 은 직사각형이다.
원에서의 접선과 할선과의 관계에서
㉡
㉠, ㉡에서
넓이는 정수이려면 가 완전제곱수이어야 한다.
따라서 <보기> 중 일 때 넓이는 정수가 된다.
31. 0
따라서 A(2, 0)을 지나는 직선 중 원 에 접할 때,
의 값은 최대, 최소가 된다.
점 (0, 0)에서 직선 까지의 거리가 1이므로
에서
따라서, 의 최대값 : , 최소값 :
32.
①
②
①, ②의 교점을 라 하자.
①-②하면
①의 중심이 (2, 1)이므로 이 중심 C에서 ③에 내린 수선의 발을 M이라 하면
33.
①,
①, ②의 공통접선의 기울기를 이라 하면
②의 접선은 ③
①, ③에서
따라서 구하는 접선의 방정식은 ③에서
34.
①, ②
①, ②의 교점 라 하자.
이 좌표는 ①, ②의 실근이다.
여기서 이면 ①, ②의 공유점은 한 개이므로 문제의 뜻에 어긋난다.
①에서
이 를 ②에 대입하면
③
는 ③의 서로 다른 두 실근이므로
그런데 문제의 뜻에서 이므로
④
①은 A(2, 3)을 지나므로 ⑤
④, ⑤를 연립하여 풀면
또
여기서
③에서
35. 초점 F(1, -1), 준선은
이것은 를 축 방향으로 2, 축 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
∴ 초점 F(1, -1), 준선은
36. ⑤
로 놓으면
37. ⑤
①
2, 3은 서로 소이므로
따라서, 에서 이므로 일대일 함수이다.
②, ③, ④도 같은 방법으로 인수를 정리하면 서로 소가 되므로 일대일함수이다.
⑤ 에서
따라서, (1, 4)≠(4, 2)이고 이므로 일대일함수가 아니다.
38. ④
인 와 중점 에서의 함수값을 비교하여
인 조건을 만족하는 함수를
찾는다. 이 때, 오른쪽 그림과 같이 위로 볼록한 함수
이어야 하므로 ④이다.
39. ③
에서 일 때, 일 때,
따라서, 그래프의 개형은 ㉢이다.
40. ④
일 때, 에서 항상 이 성립하려면
오른쪽 그림과 같이
즉,
㉠
일 때, 이고 이것은 ㉠에 포함된다.
역으로, 이면 이므로 에서 항상 이 성립한다.
따라서, 필요충분조건은 이다.
41. ①
이므로
따라서, 구하는 함수의 치역이{2, 5, 6}이므로 모든 원소의 합은 13이다.
42. ①
㉠
㉡
㉠, ㉡에서
43. ④
로 놓고 의 범위에서 을 만족하는 상수 의 값의 범위를 구한다.
최소의 값이 이므로
44. ①
즉, 의 그래프를 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
45. ②
정의역
치역
의 정의역을 각각 A, B, C
의 치역을 P, Q라 하면 이므로
는 정의되지 않는다.
46.
㉠
㉡
㉠, ㉡에서
47. ④
㉠
따라서 이면 ㉠은 항상 성립한다.
즉, 이면 의 해는 모든 실수이다.
48. ②
이므로
49. ②
50. ④
그런데 이 정의되기 위해서는
따라서
51.
52. ③
53. ②
이므로 은 일대일 함수가 아니다.
54. ⑤
다항식 를 으로 놓으면, 이므로
55. ⑤
① 가 유리수이면
가 무리수이면
② 가 유리수이면
가 무리수이면
③ 가 유리수이면 도 유리수, 가 무리수이면 도 무리수이므로
④ 가 유리수이면 도 유리수, 가 무리수이면 도 무리수이므로
⑤ 가 제곱수이면
56. ①
포물선 에서 그래프가 아래로 볼록하므로
대칭축
원점을 지나므로
따라서, 은 일차방정식 이고, , 즉 단 하나의 음의 근을 가진다.
57. ④
의 근을 라 하고, 로 놓으면 이므로
조건에서 이므로 가 근이면 도 근이 된다.
(ⅰ) 일 때, 이고, 근이 한 개 존재한다.
(ⅱ) 일 때, 는 같은 수가 아니므로 두 개씩 근을 가진다.
따라서, 근이 모두 다섯 개이므로
이고, 모든 근의 합은 10이다.
58. ③
따라서,
59. ⑤
을 축 방향으로 만큼 평행이동하면
이 포물선이 와 접하므로
에서
60. ①
이 절대부등식이다.
(ⅰ) 일 때 성립
(ⅱ) 일 때
⇔ ⇔
(ⅰ), (ⅱ)에서
61. ④
로 놓으면
62. ④
로 놓으면
(ⅰ)
(ⅱ) 0
(ⅲ)
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 공통범위를 구하면
63. ①
①
②
위 그래프를 그리면
방정식 의 실근의 개
수는 ①, ②의 두 그래프의 교점의 개수와 같으므로
주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는
64. ④
꺾인점의 좌표가 (-1, 1)이고, 그래프의 대칭축이 축에 평행하므로
로 나타낼 수 있다.
이 그래프는 점 (0, 0)을 지나므로
따라서 구하는 함수의 식은
65. ②
이 에서 최소값을 가지려면
66. ①
그림에서 점근선은 이고 원점을 지나므로
67. 1
68. ②
의 그래프를 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프의 식은 이고, 와 의 그래프가 접할 필요충분조건은 와 직선 가 접하는 것이므로 와 가 접하도록 의 값을 정하면 된다.
따라서, 의 양변을 제곱하면
에서
69. ②
70. ①
의 값은 수직선 위의 점 에서 에 이르는 거리의 합이고, 일 때 최소값을 가지므로 는 를 만족한다. 따라서,
이므로

키워드

방정식,   도형,   이차함수,   이차방정식,   함수