생활속의수학-비누방울과 비누막

본문내용

있다는 것이 다. 놀랍게도 사각형, 오각형의 꼭지점을 잇는 가장 짧은 거리는 대각선 모양이 아니라 아래의 그림과 같은 모양이다. 비누막을 통하여 이를 확인할 수 있는데, 세 개의 비누막이 만나는 곳 은 120°를 이룬다.
4. 입체도형에서의 페르마점
비누막의 성질을 이용하면 평면에서만이 아니라 정사면체, 정육면체 등 입체도형에서도 페르마의 점과 비슷한 성질을 확인할 수 있다. 철사로 입체도형을 만들어서 비눗물 속에 담근 후 꺼내면 비누막의 성질에 의하여 표면의 넓이가 가장 작게 되는 모양이 생긴다.
비누막이 수학 안으로 들어온 것은 플래토 이후이다. 플래토는 실험을 통해 입체도형에서 비누막이 생기는 세 가지 조건을 알아내었다. 즉, 세 개의 비누막이 만날 때 ① 한 직선을 따라 만난다. ② 이 직선 위의 모든 점에서 두 비누막 사이의 각은 120°이다. ③ 비누막 위의 네 개의 직선은 한 점에서 만나고 이웃한 두 직선 사이의 각은 109°이다.
4. 페르마의 점 만들어 보기
*준비물 :아크릴판 2장, 아크릴용 칼, 자, 자석 15개
1. 우선 아크릴 판을 정사각형 모양으로 자른다.
그 다음 정사각형의 각 변을 1 : 1.414 : 1의 비로 나누어 그림처럼 자르면 정팔면체가 생긴다.
2. 바닥에 자석 세 개를 놓는다.
3. 자석 위에 팔각형 아크릴 판 하나를 올려 놓는다.
4. 자석을 3개 겹쳐서 기둥을 만들고 그것을 처음에
자석 놓았던 자리에 가져간다. 그러면 아크릴 판을
사이에 두고 자석들이 딱 달라붙어 고정이 된다.
5. 자석 위에 팔각형 아크릴 판 하나를 다시 올려
놓는다.
6. 자석 세 개를 아크릴 판 위에 올려 놓는다.
#3. 비누막 무리
비누막 여러 개가 모인 것을 비누막 무리라고 부 른다. 비누막 무리는 비누거품과 달리 에워싸는 것이 없다. 하지만 비누거품처럼 최소 넓이를 갖 기 때문에 역시 120도의 구조를 가진다. 비누막 무리에서는 비누막 세 개가 한 곡선을 따라 서로 120도를 이루며 만나고, 또 이 곡선 네 개는 한 점에서 서로 109도로 만난다. 이 사실은 플래토 가 이미 실험적으로 발견하였으나 수학적인 증명 은 1976년에야 이루어졌다.
지난 1989년에는 천체 물리학자들이 이 우주공간에 있는 성운들의 삼차원 지도를 완성하였다. 그런데 재미있는 것은 그 지도가 마치 비누막 무리와 비슷한 모양이라 는 사실이다. 또한 직육면체의 모서리를 경계로 하는 비누막 무리를 차곡차곡 쌓으면 삼차원 공 간의 partition, 즉 주기적분할을 얻을 수 있다. 1888년 영국의 켈빈경은 이 직육면체 모서리의 길이를 적절히 잡으면 최소 겉넓이를 갖는 분할 이 될 것이라고 추정하였지만 이는 아직 수학적 으로 증명되지 않았다.
#4. 비누거품
비누방울이 여러 개 합쳐진 것을 비누거품이라고 부른다. 비누거품은 낱개의 비눗방울이 서로 만난 부분이 곡면을 이룬다. 이때 곡면을 따라 비눗방울이 서로 만나는 외부각도는 120도로 삼각교차를 하고, 내부에 생긴 막은 109.5도를 이룬다. 이 삼각교차점은 세 직선이 120°로 만나는 점이으로 '페르마의 점'이라 할 수 있다.
비눗방울이 모여 120도 구조를 만드는 까닭은 비눗방울처럼 일정 부피를 에워싸는 곡면 중 가장 작은 넓이이기 때문이다.
자연계는 표면적을 가장 작게 하면서 가장 튼튼한 구조를 가지려는 성향을 가지는데 비누거품이 이루는 ‘120도 구조’가 대표적인 예이다.
비눗방울의 ‘120도 구조’는 벌집, 현무암 기둥, 잠자리 날개, 방산충 뼈대와 같은 자연계는 물론 자동차 핸들, 도시와 도시를 잇는 송유망 등 다양한 분야에서 발견된다.
※ 비눗방울의 ‘120도 구조’의 예
1. 벌집구조
정육각형은 평면을 빈틈없이 메울 수 있는 정다각형 중에서 넓이가 일정할 때 둘레의 길이가 가장 작은 도형이다.
따라서 재료비가 적게 들 뿐 아니라 무게가 가볍다. 정다각형 중에서 정삼각형, 정사각형, 정육각형만이 평면을 덮을 수 있다. 그러나 정삼각형은 같은 크기의 공간을 만드는데 정육각형에 비해 재료가 많이 들고, 정사각형은 정육각형에 비해 구조가 튼튼하지 못하다. 따라서 최소의 재료로 가장 튼튼한 최적의 공간을 만들려면 정육각형이 가장 적합하다고 할 수 있다.
반대로 정육각형은 평면을 덮을 수 있는 정다각형 중에서 둘레의 길이가 일정할 때 내부 면적이 가장 큰 도형이다. 따라서 벌집구조는 가장 튼튼하면서 동시에 내부의 공간을 극대화할 수 있는 구조라고 할 수 있다.
2. 현무암 기둥
3. 잠자리 날개

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