Mathematica를 이용한 고정점 반복법

목차

1. 서론

2. 고정점 반복법

3. Mathematica 실습

본문내용

`(``x``_1```-```x``^*``)``g``'(`` eta ``_1``)```
이다. 따라서
LEFT | ``x``_2``-```x``^*`` RIGHT |```` <= ```` beta ```LEFT | ``x``_1``-```x``^*`` RIGHT |```` <= ````beta``^2 ```LEFT | ``x``_0``-```x``^*`` RIGHT |``.```
위의 과정을 되풀이하면
LEFT | ```x``_n``-```x``^*``` RIGHT |`````<= `````beta``^n ```LEFT | ```x``_0``-```x``^*``` RIGHT |```
(1)
임을 알 수 있다.
0 ````<```` beta ````<````1```
이므로
lim from {`` n ``->`` inf } ``LEFT |`` x``_n ```-```x``^*`` RIGHT | ``~<=`` ~ lim from { ``n`` ->`` inf }`` beta ``^n ```LEFT |`` x``_0``` -```x``^*`` `RIGHT |```=```0```
이다. 그러므로
lim from { ``n ``->`` inf } ``x``_n`` `=```x``^*```
이다.
위의 정리의 가정은 고정점 반복법을 사용하였을 때 얻어지는 수열
LEFT {`` x``_n `` RIGHT } ```
이 그 고정점으로 수렴하게 반복함수
g``(``x``)```
를 선택하는 방법을 설명하고 있다. 또한
식 (1)에서는 고정점
x``^*```
의 근사값인
x``_n```
에 대한 오차의 상계는 모든
n``` >= ```1```
에 대하여
beta``^n ```LEFT | ```x``_0``-```x``^*``` RIGHT |```
이며, 수렴하는 속도는
beta ``^n```
과 관계가 있다.
beta ```
가 작으면 작을수록 수렴속도가 빨라지고, 만일
beta ```
가 1에 가까워진다면 수렴속도는 느려진다.
[따름정리3] 함수
f``(``x``)``
는
f``(`x``)``=``0``
의 근
x``^*``
의 근방에서 연속인 2계도함수를 갖고
f``'(``x``^*``)``` != ```0``
이라고 하자. 그러면 방정식
f``(`x``)``=``0``
을 풀기 위한 Newton-Raphson 방법, 즉
x``_n+1 ```=``` g``(``x``_n ``)```=```x``_n```-```{f``(``x``_n``)} over {f``'(``x``_n``)}```
으로 정의 되는 수열
LEFT {`` x``_n `` RIGHT } ```
은 수렴한다.
(증명)
g``(``x ``)```=```x```-```{f``(``x``)} over {f``'(``x``)}```
이므로
g``'(``x`^*``)```=```1```-```{f``'(``x``^*``)``^2```-```f``(``x``^*``)``f``''(``x^*``)} over {f``'(``x``^*``)``^2}```=```{f``(``x``^*``)``f``''(``x^*``)} over
{f``'(``x``^*``)``^2}```=```0``.```
따라서
LEFT | ``g``'(``x``^*``)`` RIGHT |```` < ```1```
이 성립한다.
끝으로, 고정점 반복법
x``_n ```=``` g``(``x`_n-1 ``)``,``~ n ```>= ```1```
이
g``(``x``)``
의 고정점
x``^*``
에 수렴할 때, 얼마나 빠른 속도로 수렴하는지를 알아보자. 그러기 위해
e`` _n ```= ``` LEFT | ``x``_n``` -``` x``^*`` RIGHT |```
으로 놓자. 그러면
e``_n```
은
n``
번 반복 후의 오차이다.
[정리4] 함수
g``'(``x``)```
가
g``(``x``)``
의 고정점
x``^*``
의 근방에서 연속이고
LEFT | ``g``'(``x``^*``)`` RIGHT |```` < ```1```
이라고 가정하자. 그러면
(ⅰ)
lim from {`` n`` ->`` inf }`` {e``_n+1 } over {e``_n } ```=``` LEFT |``g``' (``x``^* ``)`` RIGHT |``
(linear convergence)
덧붙여,
g``'(``x``)```=```0```
이고
g``''(``x``)``
가
x``^*``
의 근방에서 연속이면
(ⅱ)
lim from {`` n`` ->`` inf }`` {e``_n+1 } over {e``_n``^2 } ```=``` 1 over 2``LEFT |``g``''(``x``^* ``)`` RIGHT |``
(quadratic convergence)
(증명) [ 7 ] 참고.
4. 참고문헌
1. 류재구, 매스매티카 3.0, 크라운출판사, 1997
2. 류희찬, 탐구형 소프트웨어를 활용한 열린 수학교육, 열린 수학교육의 이론과 실제, 대한수학교육학회, 서울대학교, 1998
3. 신창언, Mathematica와 미분적분학, 경문사, 1996
4. 송만석, 장건수 편역, 수치해석학, 김영사, 1986
5. 정상권, 하성남, 수치해석, 경문사, 1997
6. D.Conte, C.de Boor, Elementary Numerical Analysis, McGraw-Hill,Inc. 1980
7. Eusebius Doedel, Numerical Analysis, Lecture Notes, 1999
8. N. Blachman, Mathematica : A Practical Approach, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1992
9. S. Wolfram, Mathematica : A System for Doing Mathematics by Computer, Addison-Wesley, 1991
10. R.D.Skeel, J.B.Keiper, Elementary Numerical Computing with Mathematica, McGraw-Hill, Inc. 1996

키워드

고정점,   반복법,   정보화,   정보화 사회,   미분,   상호대화