[수학교육][도형분석]도형분석의 읽기자료

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목차

황금비이야기
다빈치코드의 수학적해석
A4용지의 탄생
피라미드의 수학
건축과 조형에 담긴 수학
음악과 수학
수학과 미술
한붓그리기
외 다수

본문내용

되면 기부 문화가 타격을 받고 빈부 격차가 더욱 커질 것이라며 강력히 반발을 하고 나섰다고 한다. 이젠 우리의 가진 자들도 많은 세금을 감수하거나 부정한 방법을 동원하면서까지 부를 대물림하려 하지 말고 기부를 통해 돈으로 계산할 수 없는 더 큰 가치를 물려줌으로써, 우리 사회가 안고 있는 불평등이 더 이상 되풀이 되지 않도록 한층 성숙한 자세를 보여야 할 것이다.
38)
<학생 답안지>
정다면체를 만들기 위해서는 한 꼭지점에 3개 이상의 다각형이 모여서 360° 이상이 되면 불가능 하다. 따라서 정삼각형은 한 각이 60°이므로 한 꼭지점에 3개(정사면체), 4개(정팔면체), 5개(정이십면체)가 모이면 360°이하가 된다.
마찬가지로 정4각형은 한 각이 90°이므로 한 꼭짓점에 3개 모인 다면체(정육면체)는 가능하다. 4개부터 360°이상이 되므로 불가능하고 마찬가지로 정오각형은 3개가 모이면(정심이면체) 324°이므로 360°가 넘지 않아 가능하다.
정육각형부터는 3개가 모였을 때 360°이상이 되므로 다면체를 만드는 것은 불가능하다.
따라서 가능한 정다면체는 다섯 개 뿐이다.정다면체
다각형의 모양
한꼭지점에
모인 면의 개수
꼭지점의 개수
모서리의 개수
정사면체
3
4
6
정육면체
3
8
12
정팔면체
4
6
12
정십이면체
3
20
30
정이십면체
5
12
30
<해설>
우선 정각형이 한 꼭짓점에 개가 모여 있는 정면체를 생각해 보자. 여기서 은 3이상의 자연수이어야 하는데, 그 이유는 삼각형 이사의 정다각형이 한 꼭짓점에 3개 이상 모여야 입체가 형성되기 때문이다. 또한 꼭짓점에 모인 다각형의 내각의 합이 360°이상이면 입체가 형성되지 않기 때문에 가능한 은 다음과 같은 식에 의해서 결정된다.
그리고 이 관계식 ①을 그래프로 나타내면 다음과 같다.
그러므로 가능한 의 쌍은 의 5개뿐이다. 즉 가능한 정다면체는 정삼각형이 한 꼭짓점에 3개, 4개, 5개 모여 있는 경우, 정사각형이 한 꼭짓점에 3개 모여 있는 경우, 그리고 정오각형이 한 꼭짓점에 3개 모여 있는 경우로 5가지 밖에 없다.
그렇다면 이 5가지 경우가 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 중 어느 것에 해당하는지 짝을 지어보자. 일반적으로 정각형이 한 꼭지점에 개가 모여 있는 정면체에서 꼭짓점(vertex)의 개수 와 모서리(edge)의 개수 는 다음과 같다.
왜냐하면 정각형이 개 존재하지만, 모든 꼭짓점은 똑같이 번 중복되고, 모든 모서리는 똑같이 2번 중복되기 때문이다.
첫째, 정사면체()는 위 5가지 경우 중 무엇일까? 가능한 경우는 의 3가지인데, 이중에서 인 경우는 정사면체 이상의 입체이므로 불가능하다.
따라서 오직 가능한 경우는 뿐이다. 즉 정삼각형 이 한 꼭짓점에 3개 가 모여 있는 것이다. 그러므로 식에 의해 정사면체에서 꼭짓점의 개수는 4개이고, 모서리의 개수는 6이다.
둘째, 정육면체()은 어느 경우일까? 뿐이다. 즉 정사각형 이 한 꼭짓점에 3개 가 모여 있는 것이다. 그러므로 식에 M이해 정육면체에서 꼭짓점의 개수는8개이고, 모서리의 개수는 12개이다.
셋째, 정팔면체 는 어느 경우일까? 가능한 남아 있는 경우 의 2가지이다. 여기서 (3, 5)는 정삼각형 이 한 꼭짓점에 5개 가 모여 있는 경우인데, 식에서 이므로 이는 불가능한 경우이다. 따라서, 뿐이다. 즉, 정삼각형 이 한 꼭짓점에 4개가 모여 있는 것이다. 그러므로 식에 의해 정8면체에서 꼭짓점의 개수는 6개이고, 모서리의 개수는 12개이다.
넷째, 정십이면체 는 어느 경우일까? 가능한 경우는 (5, 3)뿐이다. 즉 정오각형 이 한 꼭짓점에 3개 가 모여 있는 것이다. 그러므로 식에 의해 정12면체에서 꼭짓점의 개수는 20개이고, 모서리의 개수는 30개이다.
다섯째, 정이십면체 는 어느 경우일까? 가능한 남아 있는 경우는 뿐인데, 정삼각형 이 한 꼭짓점에 5개 가 모여 있는 것이다. 그러므로 식에 의해 정이십면체에서 꼭짓점의 개수는 12개이고, 모서리의 개수는 30개이다.
정다면체
다각형의 모양
한꼭지점에
모인 면의 개수
꼭지점의 개수
모서리의 개수
정사면체
3
4
6
정육면체
3
8
12
정팔면체
4
6
12
정십이면체
3
20
30
정이십면체
5
12
30
그러므로 이 결과를 표로 완성하면 다음과 같다.
39)
<학생답안지>
정이십면체의 꼭짓점을 자르면 정오각형이 생기기 때문에 오각형의 개수는 정이십면체의 꼭짓점의 개수와 같다. 그러므로 12개이다.
육각형의 개수는 정이십면체의 원래 삼각형이 꼭짓점 부분이 잘려서 생기기 때문에 원래의 면의 수와
같다. 따라서 20개이다. 꼭짓점의 개수는 정오각형들의 꼭짓점 개수의 합과 같은데 정오각형이 12개이고 각각 5개씩 있으므로 60개가 된다.
모서리의 개수는 원래의 개수에 오각형이 새로 생김으로써 생기는 모서리의 합을 구하면 된다. 따라서 이므로 90개가 된다.
<해설>
축구공 모양의 준정다면체는 정이십면체의 12개의 모든 꼭짓점에서 각 5개 모서리의 지점을 w나도록 잘라서 만든 다면체이다. 그러므로 12개의 모든 꼭짓점은 정오각형이 되고, 20개의 정삼각형은 정육각형이 된다. 즉 삼십이면체가 된다.
모서리의 개수는 기존 30개 모서리의 길이가 로 줄어들었지만 없어진 것은 아니다. 그리고 12개의 꼭짓점에서 5개씩 새로 모서리가 생겼다. 즉 60개의 모서리가 새로 생긴 셈이다. 그러므로 총 모서리의 개수는 90개이다.
그리고 꼭짓점의 개수는 기존의 12개의 꼭짓점은 다 없어졌다. 하지만 각 꼭짓점에서 5개씩 새로 꼭짓점이 생겼으므로 총 꼭짓점의 개수는 60개이다.
다음 그림은 그 사진이다.
이와 같은 모양으로 만들어진 최초의 축구공이 1970년 멕시코 월드컵 축구대회 본선에서 사용된 국제축구연맹 공식구인 ‘텔스타’이다, 즉, 정다각형들을 어려 붙여서 완전히 구면에 가장 가깝도록 만들 수 있는 축구공은 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이루어진 텔스타가 최선의 선택이었던 것이다.
이렇게 만들어진 축구공은 그 구조가 아주 안정적이어서 수많은 사람이 발로 마구 차고 머리로 들이받아도 쉽게 찌그러지지 않고 항상 동그란 형태를 유지할 수 있게 된다.

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