수학교육론 (제1장~제6장)

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목차

제1장 수학교육의 주요 문제
제2장 수학적 사고 능력의 개발
제3장 수학사와 수학 학습 지도
제4장 수학 문제해결 교육
제5장 집합과 논리
제6장 수 개념 지도

본문내용

집합의 가법적 결합과 분해, 순서짓기, 짝짓기 등의 활동을 시키고 자연수의 도입과 거의 동시에 수의 가법적 합성과 분해를 다루고, 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 각각 거의 동시에 될 수 있는 한 빨리 도입하는 것이 심리적으로 보아 자연스로운 지도방법 이다.
· 퀴즈네르 색막대가 가연수의 지도를 위한 교구이다. 이것은 조작적 교구, 자연수의 여 러 가지 제측면 지도와 상화관련성 지도, 사칙연산과 분수지도에 매우 유용한 교구이다.
5. 수의 심리학에서의 Dewey와 Piaget
수의 개념에서 Dewey는 수는 구체물의 성질이 아니라 측정활동의 결과이므로 수 개념을 지도할 때 구체물을 다루는 활동이 중시된다. 반면에 Piaget는 모든 수학적 개념은 지적 조작이라고 한다.
수개념 구성을 보면 Dewey는 상반된 두가지 조작이 수개념에 선행한다고 하였고 Piaget는 수가 분류와 계열화 조작의 조정에 의해서 발생되며, 교육은 그러한 자연스런 조작의 구성을 돕는 것이어야 한다고 하였다.
수의 측정에서는 Dewey는 수는 측정 결과 확정된 전체량과 단위의 비이며, 대상으로부터 추상된 개념이 아니라 대상에 대한 행위로부터 추상된 개념이라고 하였다. Piaget는 행동이나 조작으로부터의 반영적 추상화라고 하였다.
Dewey는 능동적인 구성적 활동을 통한 지식의 이해의 문제에 교육적 관심을 두고 일상적인 반성적 사고와 과학적 사고 사이의 연속성을 확립하고자 하였고, 이러한 구성주의적 입장에서 조작적 구성주의를 주장한 Piaget의 이론의 모태가 된다.
Ⅱ. 수개념의 교육적 기초에 대한 Freudenthal의 분석
1. 셈수와 수학적 귀남법의 원리
·셈수 : 자연수의 수열로서 수세기와 계산활돌에 필수불가결한 것이다.
·Peano의 공리
① 0 N
② 일대일사상 f : N → N 가 존재한다.
③ f( N ) = N - {0}
④ ( 0 M N ) ( f ( M ) M ) → M = N
N : 셈수, f : 수세기 (수학적 귀납법의 원리)
2. 집합론과 기수
· Cantor식 접근 : 기수를 한집합 M의 기수는 능동적인 사고력에 의하여 M으로부터 그 원소들의 특질과 그 제시 순서로부터 추상하여 일반적인 개념으로써 두집합은 대등일 때 같은 기수를 갖고, 집합 M의 기수는 M과 대등 한 집합의 공통성질이다. 또한 이는 내포적인 개념의 정의이다. 원소가 1개인 집합 로부터 시작하여 이에 기수 1을 부여하고 다른 새로운 원 소를 에 첨가하여 기수 2를 부여하는 방식으로 자연수를 차례로 정의 하였다.
전통적으로 자연수의 덧셈을 잇달아 세기, 뺄셈은 거꾸로 세기, 곱셈을 뛰어세기와 동수누가로 지도되었고, 「수도」와 같은 구조화된 자료를 이용한 체계적인 수세기가 중시되었으
나 「새수학」이후 기수의 연산을 초등화한 Venn다이어 그램을 사용한 연산지도 때문에 이러한 구조화된 자료를 이용한 체계적인 수세기가 경시되었다.
· Freudenthal은 기수는 수학적으로 자연수의 기초로서 불충분하다고 하였고, 셈수측면보 다 중요하지 않으며 교육적으로도 불충분하다고 하였다. 학교 수학에서 유한집합의 기 수와 그 연산을 정의할 때 외삽적 일반화를 하지 않을 수 없는바 이는 자연수 전체가 이 미 알려져 있을 때에만 가능하다. 수학적으로 유한기수와 그 덧셈, 뺄셈, 거듭제곱 등의 연산은 귀납적 정의를 하지 않을 수 없으며 이는 셈수를 전제로 하는 것이다.
3. 측정수
· Archimedes의 공리에 따르면 G의 임의의 원소 e에 대하여 e의 모든 양의 유리수배보다 작거나 큰 G의 원소는 없다는 말은 모든량은 임의의 단위로 측정 가능하다는 말과 같다.
· 측정수는 단위에 대한 배수이며 수학적으로 해석하면 작용소이다.
4. 계산수
: 수의 알고리즘적 측면, 형식적인 공리적 측면으로 여기서 수는 규칙에 따라 조직되는 대 상일 뿐이다.
Ⅲ. 정수의 지도
1. 계산수로서의 음수의 본질
· 13세기 초에 Fibonacci는 자연수와 음수를 소득과 손실로 해석하여 음수에 합법성을 부여하려고 하였고 18세기 영국의 수학자 Maclaurin은 수학은 형식적인 관계에 관한 학문이며, 실제로 존재하는 것에 관한 학문은 아니라고 서술하면서도, 음수를 누군가 받기를 기대하는 값과 주기를 기대하는 값, 오른쪽을 향해 그려진 선분과 왼쪽을 향해 그려진 선분, 수평선 위의 높이와 수평선 아래의 깊이와 같은 구체적인 어떤 것과 연결하려고
하였다.
· 17세기 이전에는 수학의 각 분야가 독립적으로 발전하였으나 17세기에 이르러서 해석기하학이 탄생되면서 서로 보완하며 발전하기 시작하였고, 직선 전체와 곡선 전체를 대수적으로 서술하려면 음의 값을 변수로써 인정할 수밖에 없었다. 형식적 대수의 필요보다 기하에서의 필요는 더 본질적인 것이며 강제적인 것이다. Descartes에 의한 기하학의 좌표화는 음수에 대한 확신을 한층 강화시켜 음수를 정당한 수로 만들었다. 도형의 대수적 기술이 음수 존재의 확립을 가능하게 한 것이다.
· Freudenthal은 음수의 이러한 계산수로서의 형식적인 본질에 입각하여 대수적인 형식불역의 원리에 따라 자연수체계의 확장으로 음수와 음수의 연산을 지도할 것을 주장한다.
2. 정수 개념과 그 연산의 지도
· 수개념을 크기개념에 종속시킬 때 음수의 개념은 혼란스러워진다. 어떤 개념을 수학적으로 타당한 것으로 수용하는 기준은 실제성이 아니라는 것을 인정해야 한다. 어떤 개념의 수학적인 타당성은 그 개념을 정의하고 공리적 구조내에서 모순없이 그것을 조작할 수 있는 가능성에 기초한다. 그리고, 음수의 개념과 그 계산의 지도에서 모델을 이용할 때에는 원래 대상과 구조적으로 동형인 것으로 본질적인 측면을 보존하면서 보다 간단하고 쉽게 접근가능한 것이어야 하고 모델의 한계를 명확히 인지하여야 한다.
Ⅳ. 유리수와 실수의 개념
·유리수 : 등분할 된 전체량의 부분 및 그 관계를 나타내고 보다 정확한 측정을 한다. 그리고 나눗셈 계산과 방정식 풀이는 자유롭게 한다. 또한 비율을 나타내고 배 작용소로 사용한다.
· 실수 : 실수는 양을 나타낼 수 있다.
실수계는 학교 수학의 정점인 미적분의 바탕이 되는 매우 중요한 내용이다.

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