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정리를 이용하여 체바의 정리를 증명하라
1. 메넬라우스 정리
삼각형 ABC의 꼭짓점을 지나지 않는 직선 과 각 변과의 교점을 라 하면,
이 성립한다.
또 역으로
이 성립한다면, 는 공선(3개 이상의 점이 동일직선상에 있는 경우)이다.
2. 체바의 정
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체바의 정리
(1) 체바의 정리란?
삼각형 ABC의 세변 BC, AC, AB 또는 그 연장선 위에 각각 D, E, F가 존재하며, AD, BE, CF가 한 점 P에서 만날 때, DC/BD × EA/CE × FB/AF = 1 이라는 정리다.
(단 연장선은 2개까지 허용된다.)
(2) 체바 정리의 증명
메넬라우스 정
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정리 역
삼각형 ABC의 세변 BC, CA, AB 또는 그 연장선에 각각 세 점 D,E,F가 있고 이 세 점에 대해 체바의 정리가 성립하면, AD, BE, CF는 한 점에서 만난다라는 것이다
[증명]
이번엔, AD와 BE의 교점 P, CP의 연장선과 AB의 연장선의 교점을 F′라고 두면,
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정리를 이용한 체바의 정리 증명
위 <그림 2>의 삼각형
ABD
와 직선
CF
에 메넬라우스의 정리를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
{bar{BC}} over {bar{CD}} BULLET {bar{DP}} over {bar{PA}} BULLET {bar{AF}} over {bar{FB}} =1
---- ①
또 삼각형
ACD
와 직선
BE
에 메넬라
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정리를 이용하여 체바의 정리를 증명하라
4. 자신의 생일(OO월 OO일)을 나타내는 네 숫자를 근으로 갖는 의 계수가 1인 4차방정식 을 만들어 보라.(단, 3월 1일은 03월 01일로 나타낸다.)
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