2023년 2학기 방송통신대 대학수학의이해 출석수업대체과제물)자신의 실제 CAS 사용 경험이나 학습 경험을 명시적으로 기술하고 CAS 등 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 수학 학습 방법에 대해 찬성 또는 반대 중 하나의 입장을 택하여 자신의 견해를 독창적으로 논하시오 등

소개글

2023년 2학기 방송통신대 대학수학의이해 출석수업대체과제물)자신의 실제 CAS 사용 경험이나 학습 경험을 명시적으로 기술하고 CAS 등 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 수학 학습 방법에 대해 찬성 또는 반대 중 하나의 입장을 택하여 자신의 견해를 독창적으로 논하시오 등에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 1970년대 초부터 개발되기 시작한 CAS(Computer Algebra Systems)는 수학 연산을 쉽게 접근할 수 있게 하고 연산 시간을 줄여주어 유사한 문제를 반복적으로 학습할 수 있도록 도울 수 있다는 장점이 있다. 반면, CAS에 지나치게 의존하면 수학적 개념을 놓치고 수학의 본질적 논리 체계를 제대로 학습할 수 없다는 우려도 있다.
① 자신의 실제 CAS 사용 경험이나 학습 경험을 명시적으로 기술하고 (ex. O월 O일 O시 대학수학의 이해 교과목 동영상 강의 수강 후 학습 중 Maxima 실습) ② CAS 등 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 수학 학습 방법에 대해 찬성 또는 반대 중 하나의 입장을 택하여 자신의 견해를 독창적으로 논하시오. (단, 상용자료나 인터넷 자료, 제출된 과제들과 비교하여 한 문장 이상 동일하면 자동적으로 표절로 판명되어 0점 처리됨에 유의하시오. 또한, 한글 기준 글자 크기 11 pt, 줄간격 160%로, MS word 기준 글자 크기 11 pt, 줄간격 1.5로 하여 문제를 제외하고 A4 한 페이지 분량으로 기술하시오.) (총 9점)

2. 실수 구간 S가 있다고 할 때 그 구간에 속한 실수에 관해 다음 물음에 답하시오. (총 8점)
1) 상계, 하계, 최소 상계, 최대 하계의 정의를 기술하시오. (4점)
2) 상계는 존재하지 않고 하계와 최솟값은 존재하는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
3) 하계와 상계 및 최솟값은 존재하나 최댓값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)

3. 교재의 <정리 3.5>는 수열 {}의 무한급수가 수렴하면 →0임을 나타내고 있다. ① 이 명제의 역, 즉 “→0이면 수열 {}의 무한급수가 수렴한다.”는 참인지 거짓인지 밝히고, ② 참이면 증명을 하고, 거짓이면 반례를 드시오. (총 5점)
1) <정리 3.5>의 역이 참인지 거짓인지 증명
2) 반례들 ①반례1 ②반례2

4. 다음 문제의 풀이과정과 답안을 상세하게 제시하시오. (총 8점)
1) 을 구하시오. (4점)
2) 의 값이 존재하는지 여부를 판단하고자 한다. 이를 위해 적절한 그래프의 개형을 그리고 답안을 유추하시오. (4점)

5. 참고문헌

본문내용

)는 모든 상계 중에서 최소인 수이다. 구간 S의 최대 하계(greast lower bound)는 모든 하계 중에서 최대인 수이다. 최소 상계, 최대 하계가 존재하면 그것은 유일하게 결정된다.
2) 상계는 존재하지 않고 하계와 최솟값은 존재하는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
S = [-1, ∞)
구간 S는 -1보다 크거나 같는 모든 실수를 나타낸다. 따라서 이 구간에서는 상계는 존재하지 않는다. 상계가 존재하지 않으므로 최댓값도 존재하지 않지만, 하계는 존재하고 하계 -1는 S에 포함되므로 최솟값이 된다.
3) 하계와 상계 및 최솟값은 존재하나 최댓값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
S = [-1, 1)
구간 S는 -1보다 크거나 같지만 1보다는 작은 모든 실수를 나타낸다. 따라서 이 구간에서는 하계가 존재하고 최솟값은 -1이다. 그러나 상계는 존재하지만 최댓값은 존재하지 않는다.
3. 교재의 <정리 3.5>는 수열 {}의 무한급수가 수렴하면 →0임을 나타내고 있다. ① 이 명제의 역, 즉 “→0이면 수열 {}의 무한급수가 수렴한다.”는 참인지 거짓인지 밝히고, ② 참이면 증명을 하고, 거짓이면 반례를 드시오. (총 5점)
1) <정리 3.5>의 역이 참인지 거짓인지 증명
조건명제 p→q가 참이면, 그 명제의 대우 ~q→~p도 참이 된다.
그러나 그 명제의 역 q→p도 참인 것은 아니다.
따라서 <정리 3.5>에 의해 수열 {}의 무한급수가 수렴하면 →0이 참이므로, →0이 아니면 무한급수는 발산한다는 대우는 참이 된다.
반면 <정리 3.5>의 역, 즉 →0이면 무한급수가 반드시 수렴하는 것은 아니다.
즉, →0은 무한급수가 수렴할 수 있는 필요조건이지만 충분조건은 아니다.
<정리 3.5>의 역이 거짓임은 다음의 반례 2가지를 통해 증명된다.
2) 반례들
①반례1
②반례2
4. 다음 문제의 풀이과정과 답안을 상세하게 제시하시오. (총 8점)
1) 을 구하시오. (4점)
우변의 곱셈식에서 앞의 피승수는 약분하면 이 된다.
또한 삼각함수의 극한에서
위 곱셈식에서 승수의 분자와 분모의 x=0에서의 극한값은 각각 1이 된다.
따라서 이 된다.
2) 의 값이 존재하는지 여부를 판단하고자 한다. 이를 위해 적절한 그래프의 개형을 그리고 답안을 유추하시오. (4점)
cos(x)/x는 x=0에서는 정의되지 않다. 그런데 x가 0에 가까워질 때, cos(x)의 값은 [-1, 1] 사이의 작은 범위 내에서 변동하므로, 함수는 양의 무한대와 음의 무한대로 발산한다. 반면, x가 0에서 멀어질수록, 즉 x값이 증가할수록 [-1, 1] 사이의 작은 범위 내의 분자에 비해 분모 x는 무한대로 커지므로 cos(x)/x는 0에 가까워진다. 또한 cos(x)의 주기성에 따라 cos(x)/x도 주기적인 형태를 보인다. 그러나 x의 절대값의 크기가 커지면서 각 주기마다 그래프의 진폭은 지속적으로 감소하게 된다. 이상의 내용를 바탕으로 그래프의 개형을 그리면 하단에서 파이썬의 Matplotlib 라이브러리를 이용하여 그린 그림3 과 유사해질 것이다.　따라서 의 값은 존재하지 않는다.
wxMaxima를 사용한 결과도 그림1, 2에서 확인되듯이 앞서 유추한 결과와 다르지 않다. 즉, 는 x=0에서 수럼하지 않고 발산한다. 그래프를 보면 x=0에서의 좌극한은 음의 무한대, 우극한은 양의 무한대로 발산함을 알 수 있다.
참고로 wxMaxima에서 평면 그래프를 그리는 명령어는 wxplot2d이다.
wxplot2d 명령어의 인자로는 그래프를 그릴 함수식과 x값의 범위를 지정해주면 된다.
단, 그래프를 그리기 위해서는 엔터키 대신 ‘Shift+Enter\'를 입력해야 한다.
또한 함수의 극한값은 limit 명령어를 사용한다.
이때 명령어의 인자는 함수와 극한값을 확인하고 싶은 x의 값을 위 그림처럼 입력해주면 된다.
문제는 x=0에서의 극한값을 구하는 것이므로 x값으로 0을 인자로 선택한 것이다.
wxMaxima 설치 과정을 간략히 설명한다.
https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/download.html에서
windows(including Gnuplot + Maxima)를 클릭한 후, 가장 최신 버전(5.47.0-Windows)을 선택하고 maxima-5.47.0-win64.exe 파일을 다운하여 설치하면 된다.
파이썬의 Matplotlib 라이브러리를 이용하여 cos(x)/x의 그래프를 그려보면, 앞서 유추했던 모양과 유사함을 알 수 있다. 진폭의 크기가 너무 작아 x값이 어느 정도 커지면 그래프는 x축과 거의 일치하는 것처럼 보인다.
참고로 위 그래프를 그리는 데 사용한 파이썬 코드는 다음과 같다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 데이터 생성
x = np.linspace(-20, 20, 400) # x 범위 설정
x = x[x != 0] # x=0을 제외하여 나눗셈 오류 방지
y = np.cos(x) / x
# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label=\'y=cos(x)/x\')
plt.axhline(0, color=\'black\',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color=\'black\',linewidth=0.5)
plt.title(\'Graph of y=cos(x)/x\')
plt.xlabel(\'x\')
plt.ylabel(\'y\')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
5. 참고문헌
장영재·이긍희·김병찬·유원석(2020) 대학수학의 이해, 방송대출판문화원
wxMaxima 다운로드
https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/download.html
wxMaxima 사용법 동영상
https://www.youtube.com/watch?v=IctYqh6NdEc&list=PLGfO3O2Px4lFmTHUWEC2WLHEjhlA1vnbi
https://blog.naver.com/kckoh2309/222116794200

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