건축과 음악속의 수학

목차

1. 수학과 건축
1) 피라미드와 황금비
2) 고대 그리스의 건축
3) Vitruvius와 고대건축
4) Brunelleschi의 투시화법(원근법)과 Alberti
5) 레오나르도 다빈치의 수학과 건축
6) 19세기와 20세기의 변화
7) 석굴암과 불국사의 비례

2. 수학과 음악
1) 피타고라스 음계와 현의 길이의 관계
2) 피타고라스 음계와 주파수의 관계
3) 순정조(Just Intonation)와 순정율(Pure Temperament)
4) 바흐의 평균율(Equal Temperament)
5) 음악작품에서 황금비

3. 결론

본문내용

소 단위를 분수로 나타내려고 했던 많은 학자들이 그 수를 찾으려고 했으나 성공할 수 없었다. 그러나 무리수를 이 비율에 적용함으로 해결된 것이다. 평균율의 음은 도, 도#, 레, 레# , 미, 파, 파#, 솔, 솔#, 라 라#, 시로 구성되어있다. 음계의 낮은 "도" 에서 두 칸 내려간 "라" 음은 진동수가 440hertz이고 낮은 "도"는 기준이 되는 "라" 음과 세 개의 반음의 차이가 나므로 진동수는
440 TIMES 3 TIMES `^{ 12} SQRT {2 }
으로 약 523이 된다. 이 진동수들은 등비수열을 이룬다. 바흐(1685-1750) 이전에도 평균율의 이론적인 바탕은 마련되어 있었으나 작곡에 처음으로 적용한 사람은 바흐였다. 오르간 주자였던 바흐는 1722년에 평균율 클라비어곡집”제 1권의 작곡을 통하여 모든 조로 음악을 만들 수 있음을 보여 평균율이 갖고 있는 장점을 보여주었다. 바하의 곡들을 보면 한마디에서도 여러번 조옮김이 나오는데, 이런 조옮김을 통하여 바흐는 평균율의 대중화에 결정적인 역할을 하게 되었다. 평균율은 순정율에서의 완벽한 화성 구조를 어느 정도는 희생하지만 조율이 고정된 악기들과의 합주를 가능하게 했고 또한, 조옮김이라는 전혀 새로운 작곡 기법을 가능하게 하는 절충안이 되게 하였다.
5) 음악작품에서 황금비
작곡가 바르토크는 20세기 최고의 관현악 작품의 하나로 꼽히는 그의 '현악기, 타악기. 첼리스트를 위한 음악' 에서 황금비를 교묘하게 사용하고 있다. 이 곡 첫 악장은 89 마디로 구성되어 있는 데 마치 산을 올라갔다가 내려오듯이 처음에는 피아니시모부터 시작해 점점 강해져 55번째 마디에서 포르테시모로 클라이맥스를 이루고 다시 피아니시모로 줄어드는 구조이다. 89마디중 55번째 마디는 황금비를 이루는 부분이다. 55마디 앞부분은 34와 21 마디 두 부분으로 나뉘고, 34마디는 다시 21과 13마디로 나뉜다. 뒷부분의 34 마디도 13과 21마디로 나뉘어 황금비를 그대로 적용됐다. 유명한 핸델의 '할렐루야'도 94 마디로 구성되어 있는 데, 황금비인 57, 58번째 마디에서 포르테시모로 클라이맥스를 이루고 다시 피아니시모로 줄어드는 구조이다. 위대한 작곡가들은 자신이 좋아하는 수를 작품에 반영하거나 미적 균형을 유지하기 위해 치밀한 황금비와 같은 수학적 지식을 동원하고 있음을 알 수 있다.[13]
결 론
피타고라스 학파에게는 수가 종교적인 의미가 있었다. '모든 것의 근원은 수이다' 라는 피타고라스 학파의 신조는 음악과 건축에 지대한 영향을 미쳤다. 악기가 내는 소리의 진동수의 비율과 그 비율이 음높이의 차이에 의하여 순서대로 나타날 때 음계와 선율의 아름다움이 나타나며, 이런 수의 질서가 천체의 운행이나 인생의 질서를 유지한다고 보았다. 또한 그는 이 세상 모든 피조물에 황금비가 존재한다고 하였다.
1세기경에 Vitruvius는 인간은 하나님의 형상으로 만들어졌기 때문에 완전하고 인간의 몸의 비율들이 아름다움을 성취하는 기본이며 사원의 비율들도 인간 몸의 비율들을 따라야 한다고 믿었다. 이 세상 피조물의 비례나 인체의 비례에 익숙해진 건축가들에게 이 비율은 아름답고 신비하고 자연스러운 느낌을 불러일으켰을 것이다. 이렇게 보면 L. Pepe가 말한 것처럼 과거의 건축자들이 미리 비례를 계획해서 건축한 것이 아니라, 아름다움과 자연스러움을 추구하는 건축을 하면서 여러 번의 시행착오를 거쳐 경험으로 터득할 수 있었다고 생각한다. 그러나 이집트의 피라미드건축에서 황금비가 발견되고, 최근에 고대 그리스 사원에서도 황금비가 발견된 증거가 인간의 몸의 비율과 관계가 있다고 설명되어지는 것을 보면 고대의 기하학자들은 이 세상 피조물과 인간의 몸의 비율의 아름다움을 깨달아 연구하고 그 비례관계를 건축설계에 응용하였을지도 모른다. 핸델 등 유명한 작곡가들의 작품에도 황금비가 나오는 것을 보면, 조물주가 창조한 피조물에서 발견된 비율들이 건축에서는 아름다움, 견고함과 편리함을 주고 음악에서도 아름다운 균형을 주는 것을 알 수 있다. 이는 수학이 발명이 아니라 발견이라는 고다이라의 말이 건축과 음악에서도 적용되는 것이라 생각된다. 수학, 건축학과 음악 모두가 조물주가 창조한 피조물에서 발견된 비율들을 적용하면서 아름다움과 진리를 추구하는 학문이라 생각된다.y
참고 문헌
1. 마이클 슈나이더(이충호역), 자연, 예술, 과학의 수학적 원형 p.120, 경문사, 2002.
2. 샌더스 스미스(황선욱역), 수학사 가볍게 읽기, p67, 한승, 2002
3. http://archi.ulsan.ac.kr/mads/theory_in_architecture/9week.htm
4. http://bora.dacom.co.kr/~jhs1/bul/bul9.html
5. http://chaos.inje.ac.kr/Alife/fibo_art.htm
6. http://www.plusid.com/school/s-11.html
7. http://sb.dpc.ac.kr/~jska/009web/htm/2011/contest.htm
8. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Architecture.html
9. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poleni.html
10. http://www.insite.com.br/rodrigo/bucky/geodome.html
11. http://www.worldtrans.org/whole/bucky.html
12. http://www.gamrook.co.kr/data2.htm
13. http://dugil.netian.com/storymain.htm
14. http://usoc.snu.ac.kr/lecture/lecture.htm
15. E Berger, Bauwerk und Plastik des Parthenon, in Antike Kunst (Basel, 1980).
16. Rachel W. Hall & Kresimir Josic, The mathematics of Musical Instruments

키워드

건축과 음악속의 수학,   음악속의 수학,   건축속의 수학