MBB ( Mechanical Black Box )

소개글

MBB ( Mechanical Black Box )에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. Introduction

2. The purpose of experiment

3. Equipments of experiment

4. PART-A (Product of Mass and Position of Ball)

5. PART-B (The Mass of the Ball)

6. PART-C (The Spring Constants k1 and k2)

7. References

본문내용

ogate를 사용하여 , 를 구한다. 이 때, MBB의 진동 끝이 Photogate의 감지부분에서 출발하도록 한다. 이렇게 해야 MBB의 전체길이의 진동주기를 구할 수 있다.
② (1)과 (2)의 각 진동수 , 를 와 로 나타낸다. PART-B에서 구한 공의 질량 의 값 또한 사용된다. 여기서 는 MBB의 끝을 중심축으로 했을 때 공을 제외한 MBB(원통+마개)의 관성모멘트이고, 은 MBB를 수평으로 뉘였을 때의 공의 평형 점을 기준으로 한 현재 상태의 공의 변위이다.
③ 앞의 결과에서 를 소거하여 을 구한다.
④ PART-A와 PART-B, PART-C의 결과를 이용하여 전체 용수철 상수 k를 구한다.
⑤ 최종적으로 과 의 값을 각각 구한다.
실험 결과
(1) 용수철 종류에 따른 주기 그래프
첫 번째 용수철의 평균 주기 : , 표준 오차 : 1.0100×10-4(s)
두 번째 용수철의 평균 주기 : , 표준 오차 : 1.1600×10-4(s)
이 실험은 MBB의 방향을 달리하여 두 가지 용수철에 대해서 단진동 운동을 시켜 그 주기를 측정한 실험이다. 이 실험에서는 각 주기 당 30회씩 측정하여 그 평균값을 사용하였고 오차막대를 그렸으나 오차가 거의 발생하지 않았으므로 거의 보이지 않는다.
실험결과 그래프를 살펴보면 용수철 두 가지의 주기가 각각 다름을 알 수 있다. 이는 두 개의 용수철의 상수가 다르다는 사실을 알 수 있다. 즉, 이론적으로 분석하는 과정을 통해 각각의 용수철상수를 따로따로 구해야한다. 또한 이 실험에서 포토게이트에 의해 발생하는 오차가 거의 없었기 때문에 아주 작은 오차막대가 구해졌다. 용수철 상수를 구하는 과정은 아래의 과정들에서 행해질 것이다.
(2) 이론적으로 , 를 와 로 나타내는 과정
과 를 이론적으로 과 를 이용하여 나타내면 아래와 같다.
(Proof)

에서 핀을 꽂은 점을 중심으로 (1)의 관성모멘트를 , (2)의 관성모멘트를 라 하면, 는 평행 축 정리에 의하여 각각 다음과 같이 나타난다.
여기서 (1), (2)에 걸리는 토크를 각각 라 하면,
이번 실험은 아주 작은 각도에서의 실험(small oscillation)이므로, 로 근사시킬 수 있다. 왜냐하면 를 Taylor 급수로 전개하여보면,
이기 때문이다. 따라서 를 근사시키면,
가 된다. 이 식을 이용하여 운동방정식을 세우게 되면,
가 된다. 이런 경우 미분방정식의 해는
로 나타나는데, 이때 가 진동 각속도에 해당한다. 이 해를 대입한 후 에 대하여 풀어주면, 와 는
이 된다.
그러므로
… ⑧
(3) 를 소거하여 구하는 과정
식 ⑧의 두 식을 각각 에 대해 푼 다음 같다고 두면,
… ⑨
을 얻을 수 있다.
여기서 우리는 과 의 값을 알고 있으므로 의 값을 구할 수 있다.
또한 PART-A에서 구한 데이터들을 가지고 다음의 값들도 구할 수 있다.
이제 이 값들을 식 ⑨에 대입하면,
이다. 여기서 PART-B에서 구한 , 를 대입하면,
이다. 그러므로 식을 정리하면,
(4) 전체 용수철 상수 구하는 과정
전체 용수철 상수를 구하기 위해서 두 개의 용수철을 하나로 본다면, 힘의 평형 식에서
이다. 따라서
(5) 각각의 용수철 상수 구하기
MBB가 수평면에서 힘의 평형을 이루고 있을 때, 힘의 평형 식에서
을 얻을 수 있다.
여기서 전체 용수철 상수는 이므로
…
…
식 , 에 위에서 구한 값들을 대입하면,
고 찰
이 실험은 MBB를 단진동 시켜 그 주기를 구해서 구한 주기를 통해 이론적으로 분석을 해가면서 용수철 상수를 구하였다. 이 실험도 실험이 간단하며 식 유도 과정이 좀 복잡하므로 그릴만한 그래프가 그다지 많지 않았다. 위에서 그린 그래프를 보고 알 수 있는 사실은 각각의 용수철에 대해 MBB를 단진동 운동 시키면 그 주기가 다르다, 즉, 용수철 상수가 다르다는 사실 밖에 알 수 없다.
이 실험에서는 그다지 많은 오차가 발생하지 않았다. 오차의 원인을 찾아보면 먼저 MBB를 단진자처럼 운동시킬 때 각 변위를 크게 하면, MBB 내부의 용수철에 매달린 공이 단진동하게 되므로 훨씬 더 복잡한 경우가 발생하게 된다는 것을 알게 되었다. 따라서 각 변위를 아주 작게 해주는 것이 중요한 포인트인 것 같다.
또한 실험값을 계산하던 중 알게 된 것인데, 주기가 약간 변함에 따라 용수철 상수의 값이 크게 변한다는 사실이다. 용수철 상수가 주기의 역수의 제곱에 비례하는데다 주기가 1보다 약간 크므로 주기의 미세한 변화는 용수철 상수 값의 엄청난 변화를 가져오게 된다. 위의 계산과정 중에 한 가지를 살펴보면 아래와 같다.
여기서 만약 주기가 0.01(s)씩 증가를 하게 되면 이 값은 아래와 같이 변한다.
즉, 0.01(s)의 차이가 만큼의 오차를 발생시킨다. 이 하나의 term만 살펴봐도 이렇게 오차가 남을 알 수 있으므로, 주기의 제곱이 들어가는 다른 term들도 분명 주기가 약간만 변해도 많은 오차가 발생할 것이다. 그러므로 단진동 운동의 주기를 정확히 측정해야 오차를 줄일 수 있을 것이다.
결 론
PART-C에서는 단진동의 원리와 회전관성을 이용하여 병렬연결 된 두 용수철의 용수철 상수를 각각 구할 수 있었다. 이 실험은 PART-B와 같이 그다지 많은 오차가 발생하지 않았다. 실험 결과로 구한 용수철 상수는 아래와 같다.
7. References
(1) 하이탑 물리 Ⅱ, 김종권, 이강석
(2) 물리학과 교육 실험실 : http://www-ph.postech.ac.kr/Edulab/
(3) 질량중심 : http://supercon.snu.ac.kr/~parksh/lecture/fund_physics/sejong/11week_9.doc
(4) 에너지 보존의 법칙 : http://100.naver.com/100.php?id=110480
(5) 강체의 회전운동 : http://supercon.snu.ac.kr/~parksh/lecture/fund_physics/sejong/
14week_11.doc
(6) simple harmonic oscillation : http://hydyn.hyu.ac.kr/cyberclass/vibration_animation/

키워드

MBB,   Mechanical Black Box,   단진동,   IPhO,   2004 세계물리올림피아드,   물리올림피아드,   용수철 상수,   질량중심