응용 역학 기본 핵심 이론 정리 5장 보의 설계 (기본 문제 포함)

본문내용

>> 20cm x 30cm 인 직사각형 단면의 보에 최대 휨모멘트 1800 kgm가 작용할 때, 보의 높이 방향의 6등분점의 휨 응력을 구하시오.
풀이:
밑변에서부터 위로 5cm 씩 6등분점을 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 이라고 하고, 각각의 응력을 , , , , , , 으로 하면,
등분점 0과 6은 y=15cm 이므로,
마찬가지로, 1과 5의 휨응력은 y=10cm 이므로,
등분점 2와 4의 힘응력은 y=5cm 이므로,
<<기본문제 2>> 직선 들보가 휨모멘트의 작용을 받고 휘었을 때 어느 한점에서의 곡률반경 는 그 점에서의 휨모멘트 M에 관계한다. 이 들보 단면의 단면 2차 모멘트를 I, 중립축으로부터 y의 거리에 있는 점의 휨응력을 라 할 때 이들 사이에 성립되는 관계식으로서 틀린 것은?
① ②
③ ④
해설 :
곡률반경 이므로,
위 식은 다시 모멘트로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
한편, 이므로,
위 식은 다시 모멘트로 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서, 모멘트에 대해 유도된 두 식은 동일하므로,
따라서,
2. 전단응력
전단력, ==> 전단응력,
KeyPoint)
다음 도형의 최대 전단응력을 구해본다.
먼저, 각 단면에 작용하는 전단력을 라고 가정한다.
원형단면에서 최대 전단응력은 단면 1차 모멘트가 최대가 되는 곳에서 발생한다.
단면 1차 모멘트가 최대가 되는 곳은 최외측 단면적의 중립축에 대한 1차 모멘트이므로,
최외측 단면적의 도심은 원형단면의 도심까지의 거리가 이므로, 최외측 단면적(반원)의 도심에 대한 단면 1차 모멘트는 다음과 같다.
직사각형 단면의 경우에도 최외측 단면의 도심에 대한 단면 1차 모멘트가 가장 큰 단면 1차 모멘트를 유발하므로,
원형단면의 최대 전단응력은 이고, 직사각형 단면의 최대 전단응력은 이므로 직사각형 단면의 최대 전단응력은 원형단면의 최대 전단응력에 배가 된다.
마찬가지로 삼각형에 대해 계산해보면,
로 계산된다.
따라서, 위의 도형에 대한 최대 전단응력의 크기순으로 나열하면,
삼각형단면=직사각형단면 > 원형단면
<<기본문제 1>> 그림과 같은 I 형 단면에 S=6t 의 전단력이 작용할 때, 최대 전단응력을 구하라.
풀이:
대칭 단면이므로 단면의 중립축은 단면의 중앙을 지나간다.
충립축에 대한 단면 2차 모멘트는
I형 단면의 최대 전단응력은 중립축에서 일어나므로, 중립축에 대한 단면 1차 모멘트를 구하면,
이므로,
3. 보의 설계
앞 절에서 계산한 전단응력과 휨응력 중 단면에 발생하는 가장 큰 값, 즉 최대 전단응력과 최대 휨응력을 계산한다. 그리고 이 값이 재료의 허용값 이내가 되도록 하는 것이 보의 설계가 된다.
<<기본문제 1>> 지간 10m의 직사각형 단면인 목재로 된 단순보에 집중 이동 하중 P=5t이 작용할 때, 이 보의 단면 높이는 얼마 이상이 되어야 하는지를 계산하시오. 보의 폭은 30cm이다. 단 허용 휨응력은 , 허용전단응력은 이다.
풀이:
단일 이동 하중 P에 의한 보의 절대 최대 휨모멘트 는 P가 보의 중앙에 올 때 발생한다. 따라서,
최대 휨모멘트에 의해 보의 단면에 발생하는 최대 휨응력이 허용휨응력을 초과해서는 안된다. 따라서,
이므로, 위의 식을 h에 대해 정리하면,
한편, 보에 발생하는 최대 전단응력에 대해서도 안전한지를 검토해야 한다.
보에 발생하는 최대 전단력은 이동하중이 지점 바로 위에 있을 때이므로,
보의 단면에 발생하는 최대전단응력은 허용전단응력을 초과해서는 안된다. 따라서,
위의 식을 h에 대해 정리하면,
따라서, 휨응력에 대해서는 보의 단면 높이가 최소 55.9cm 이상이 되어야 하며, 전단응력에 대해서는 31.25cm 이상이 되어야 함을 알 수 있었다.
결국 보의 단면 높이는 휨응력에 지배를 받게 되며, 보의 단면 높이는 최소 55.9cm 이상이 되도록 설계하여야 한다.
<<기본문제 2>> 단면 30cm40cm, 지간이 10m인 단순보가 600kgf/m의 등분포 하중을 받을 때 최대 전단응력은?
해설:
<<기본문제 3>> 지간 =10m, 단면 30cm50cm 되는 단순보의 중앙에 15tonf되는 집중하중을 받고 있을 때 최대 휨응력 값은? (단, 자중은 0.5tonf/m로 한다.)
해설:
<<기본문제 4>> 휨모멘트 M을 받고 원형 단면의 보를 설계하려고 한다. 이 보의 허용응력을 라 할때 단면의 지름 d는 얼마인가?
해설:
<<기본문제 5>> 다음 보에서 허용 휨응력이 800일때 보에 작용할 수 있는 등분포 하중 w는 ? (단, 보의 단면은 )
해설:
<<기본문제 6>> 다음과 같은 부재에 발생할 수 있는 최대 전단응력은?
해설:
최대 전단력
<<기본문제 7>> 그림과 같은 단순보에서 최대 휨응력 값은?
해설:
;
최대 휨모멘트는 전단력이 0인 곳에서 발생하므로, ,
4. 소성 설계
하중 작용에 의해 계산된 응력이 재료의 극한 응력을 넘지 않도록 하는 설계법을 소성 설계법이라고 한다.
KeyPoint)
직사각형 단면의 소성모멘트()를 계산해본다.
위에서, 로 놓으면
소성단면계수
형상계수
직사각형 단면인 경우,
원형 단면도 위와 같이 산정하면,
I형 단면인 경우 약 1.15정도의 값을 갖는다.
5. 전단중심
보에 하중이 작용할 때 비틀림 없는 순수 휨상태를 유지하려면, 하중 P를 전단응력의 합력이 통과하는 위치에 작용시켜야 한다.
이 때 O점에서 S점까지의 거리 를 전단중심거리라고 하며, O점에서의 평형을 고려하여 구한다.
여기서, 는 전단흐름이며, 이다.
(1) 전단중심의 특징
a. 2축이 대칭인 단면의 전단중심은 도심과 일치한다.
b. 중심선이 1점에서 교차하는 개단면일 경우는 그 교점이 전단중심이 된다.
c. 1축이 대칭인 단면의 전단중심은 그 대칭축 선상에 있다.
(2) 전단흐름 = 전단류
전단응력 값에서 폭 b는 두께 t가 되며 t가 얇기 때문에 는 접선 방향으로 작용한다.
전단흐름
를 전단흐름이라 하며 단위길이당의 전단응력을 의미한다. 또한 전단중심거리 는
(3) 폐쇄된 단면의 전단흐름
전단흐름은 관의 두께와 전단응력의 곱이며, 그 단면의 모든 점에서 일정하다.
즉, 전단흐름
또는, =일정
: 둘러싸인 부분의 면적

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