통계학

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통계학 에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1장 통계학과 자료
2장 자료의 정리
3장 확률분포
4장 여러 가지 분포

본문내용

M, 여학생일 사건을 F, 안경을 착용할 사건을 A, 안경을 착용하지 않을 사건을 B라 하자. 임의로 선택한 학생이 남학생일 때 그 학생이 안경을 착용하고 있을 확률은 로 표현할 수 있다.
따라서
3-7 어느 공장에서 생산된 켬퓨터 20대 중 5대가 불량품이라고 한다. 이 가운데 3대를 단순랜덤추출하였을 때, 그 중 불량품의 개수를 X라고 하자. 확률변수 X의 확률분포를 구하여라.
→ 20개에서 3개에서 택하는 방법의 수는 이므로,
이다.
3-11 X의 확률분포가 다음과 같다. 아래의 세 가지 방법으로 기댓값을 구하고, 결과들이 모두 같은지 확인하여라.
x
1
2
3
4
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
(a) 을 구하여라.
→
(b) 를 구하여라.
→
따라서
(c) 의 분포함수를 구하고, 를 구하여라.
→
y
0.25
2.25
p(y)
3/4
1/4
따라서
3-15 주머니에 검은 공 3개, 붉은 공이 2개, 흰 공이 3개가 들어 있다고 하자. 임의로 공을 2개씩 꺼내는 실험에서 확률변수 X, Y를 다음과 같이 정의하자.
X=검은 공의 개수
Y=붉은 공의 개수
이 때, 두 확률변수 X, Y의 결합확률분포를 구하여라.
→ 먼저 검은 공과, 붉은 공의 개수가 0인 경우는 2개 모두 흰 공을 뽑는 경우와 같으므로, 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다.
일반적으로 검은 공이 x개, 붉은 공이 y개 뽑힐 확률은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
위의 식을 이용하면 다음과 같은 표를 얻을 수 있다.
X와 Y의 결합확률분포
y x
0
1
2
행의 합
0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
6/28
6/28
0
12/28
2
1/28
0
0
1/28
열의 합
10/28
15/28
3/28
1
3-17 X와 Y의 결합분포가 <표 3-6>과 같다. 두 확률변수 X와 Y는 독립인가?
X와 Y의 결합확률분포
y x
-1
0
1
행의 합
0
0
1/3
0
1/3
1
1/3
0
1/3
2/3
열의 합
1/3
1/3
1/3
1
→ 두 확률변수가 독립이기 위해서는 모든 x,y에 대하여 가 성립해야 한다. 하지만 위 표에서 일 때, 이므로, 두 확률변수는 독립이 아니다.
연습문제 3-3 어떤 상자에 15개의 테니스 공이 들어 있다. 이 중 9개는 사용한 적이 없는 새 공이라고 한다. 이 상자에서 3개의 공을 임의로 꺼내어 사용한 후 다시 상자에 넣었다. 그리고, 다시 3개의 공을 임의로 꺼내들었을 때 이들 3개의 공이 모두 새 공일 확률을 구하여라.
→
3-7 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 다음과 같을 경우에 아래 물음에 답하여라.
(a) 상수 k의 값을 구하여라.
→
(b) 을 구하여라.
→
(c) E(X), E(), Var(X)를 구하여라.
→
3-12 두 확률변수 X와 Y의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때 물음에 답하여라.
p(x,y)=, x=1,2, y=1,2
(a) X와 Y의 주변확률밀도함수를 구하여라.
→ X의 주변밀도함수
x
1
2
합
1
Y의 주변밀도함수
y
1
2
합
1
(b) X와 Y의 공분산과 상관계수를 구하여라.
→ 공분산 : Cov(E,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
E(XY)=
E(X)=
E(Y)=
따라서 Cov(E,Y)=
상관계수 :
따라서
3-16 SPSS를 이용하여 균등분포 U(0,1)에서 200개의 난수를 생성하고, 이들의 적당한 히스토그램을 그려라.
→
4장 여러 가지 분포
중심극한정리
예제 4-2 10000가구가 살고 있는 어떤 지역의 신문 구독률이 40%라고 한다. 이 지역에서 10가구를 표본으로 뽑아 신문 구독 여부를 조사할 경우 6가구 이상이 신문을 구독할 확률은 얼마인가?
→ 표본에서 신문구독가구 수는 N=10000이고, D=4000, n=10인 초기하분포를 따른다. 이 경우에는 N이 매우 크고, n도 N에 비해 충분히 작다. p=D/N=0.40이므로 표본의 신문구독가구의 수 X의 분포는 B(10, 0.4)로 근사시킬 수 있다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.
4-4 우유 공장에서 200ml 우유 통에 우유를 담는 기계가 있다. 이 기계가 통에 담는 우유의 양은 N(200,25)를 따른다고 한다. 이 우유를 하나 샀을 때, 들어 있는 우유의 양이 190ml보다 적을 확률을 구하여라.
→ 우유의 양을 X라고 하면, X는 N(200,25)를 따르는 확률변수이다. 따라서 이다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.
4-6 어떤 컴퓨터의 부팅시간은 평균이 30초이고 표준편차는 2초라고 알려져 있다. 이 컴퓨터를 100회 부팅하면서 시간을 기록할 때, 기록된 시간의 평균이 29.5초 이하일 확률을 구하여라.
→ 이 경우 표본의 크기가 충분히 크므로 중심극한정리를 사용할 수 있다. 부팅시간의 표본평균인 는 평균이 =30초, 표준편차가 =2/10초인 정규분포를 따른다고 할 수 있다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.
연습문제 4-5 확률변수 X가 정규분포 N(2,4)를 따를 때, 다음 확률을 구하여라.
(a)
→
(b)
→
4-13 암 치료에서 완치율은 치료 후 5년 이상 생존할 확률이다. 대장암 3기 이후에 치료를 하게 되면 완치율이 30%정도로 알려져 있다. 100명이 대장암 3기 이후에 치료를 받았을 때, 치료 후 5년 이상 살아남은 사람의 비율이 25% 이상일 확률을 구하여라.
→ 이 경우 완치율은 N(30, 21)의 분포를 따른다.
4-23 다음 문제들을 SPSS를 이용하여 풀어라.
(a) X~B(400,0.1)일 때 확률 P(390≤X≤410)의 값을 이항분포와 정규근사를 이용하여 구하고, 결과를 비교하여라.
→
(b) 0과 10 사이에서 균등분포를 따르는 U(0,10)에서 크기 6인 난수를 생성하여 평균을 구하는 일을 120번 반복한 다음, 이들 표본평균의 히스토그램을 대응되는 정규곡선과 함께 그려라.
→
(c) 자유도 6인 카이제곱분포 (6)에서 크기 10인 난수를 생성하여 평균을 구하는 일을 80번 반복한 다음, 이들 표본평균의 히스토그램을 대응되는 정규곡선과 함께 그려라.
→
(d) 이항분포 B(60, 0.4)에서 120개의 표본을 추출하고, 이들을 히스토그램으로 나타내어 정규곡선과 비교하여라.

키워드

spss,   통계학 ,   확률분포,   분포,   통계,   확률