일반기상역학(4-2)

소개글

일반기상역학(4-2)에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

차시명
7. 등압좌표계에서의 기본방정식

학습목표
1. 수평운동량 방정식
2. 연속방정식
3. 열역학에너지 방정식

들어가기 전에

앞 차시에서 ()좌표계에서 열역학에너지 방정식을 유도하였다. 건조공기에 이 방정식을 적용시켜 단열과정에 대한 경우를 학습하였으며 특히 기상학적으로 아주 유용하게 사용되는 온위를 정의하였다. 온위의 연직분포를 이용하여 건조대기의 정적 안정도를 판정하는 방법을 공부하였다. 그리고 열역학에너지 방정식을 규모분석함으로써 강수지역을 제외하고는 비단열가열률이 종관규모 운동에서 작아 무시할 수 있음을 알았다.
이번 차시에서는 등압좌표계에서 기본방정식이 어떻게 표현되며 등압좌표계의 장점이 무엇인지 알아보고자 한다.

학습내용

1. 수평운동량 방정식
근사 수평운동량 방정식은 좌표계에서


로 표현되고, 벡터 형태로는

로 쓰여진다. 여기서 는 수평속도벡터이다.
2차시에서 등압좌표계에서는 기압경도력을 다음과 같이 표현할 수 있음을 보였다.

이 식들을 벡터형태로 표현하면

여기서 는 기압을 일정하게 둔 채 적용하는 수평경도 연산자이다.
그러므로 좌표계인 등압좌표계에서 근사 수평운동량 방정식은

로 된다.
는 독립적인 연직좌표이므로 전도함수를 다음과 같이 전개하여야 한다.

ω
좌표계에서 가 하는 역할과 같이 좌표계에서
ω(오메가 연직속도)는 운동을 따라 측정한 기압의 변화율이다.
지균 관계를 나타내는 식은

이므로 등압좌표계에서 지균풍은

로 표현된다. 앞에서 학습한 좌표계에서의 지균풍 공식 와 비교해 보면 등압좌표계의 장점을 알 수가 있다. 등압좌표계에서 지균풍을 계산할 때 밀도 가 없으므로 편리하다. 좌표계에서는 등압선 간격이 같더라도 밀도가 다르면 지균풍속이 달라지는 반면, 좌표계에서는 지오퍼텐셜 간격이 같으면 지균풍속이 서로 같다. 이 점들이 등압좌표계의 장점이다.
더구나 를 상수로 취급하면, 등압면에서 지균풍속의 수평발산은 0이다. 즉,

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․

2. 연속방정식
좌표계에서 체적소의 부피는 이다. 정역학 방정식으로부터 를 대입하면

이다. 그러므로

이다. 질량 보존법칙에 의해

를 상수로 취급하면

그러므로

이고

또는

으로 극한을 취하고, 와 가 기압이 일정한 상태에서 계산되면,

이 식이 등압좌표계에서 나타낸 연속방정식이다.
좌표계에서의 연속방정식


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과 비교해 보면, 좌표계에서의 연속방정식은 밀도장과 연관되어 있지 않고, 시간 미분이 없다. 이 점이 등압좌표계의 또다른 커다란 장점이다.

3. 열역학에너지 방정식
앞 차시에서 취급한 좌표계에서의 열에너지 방정식

는 좌표계에서는 다음과 같이 표현된다.
ω
이 식은
ω
로 다시 쓸 수 있다. 여기서 이다.
는 상태방정식과 프와송 방정식을 이용하면

로 쓸 수 있다. 이것이 등압좌표계에서의 정적 안정도 매개변수이다.
앞 차시에서 학습한 와 정역학 방정식()을 이용하면

로 쓸 수 있다. 따라서 실제 기온감율()와 건조단열감율()보다 작으면 는 양으로서 안정함을 의미한다.

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그러나 밀도는 대략적으로 고도에 따라 지수적으로 감소하므로 는 고도에 따라 급격하게 증가한다. 이와 같이 안정도 계수인 가 고도에 크게 의존하는 것이 등압좌표계의 작은 단점이라 할 수 있다.

학습정리
․ 기본 방정식을 등압좌표계로 표시하면 몇 가지 장점이 나타난다.
․ 첫째 장점은 기압경도력에 밀도가 포함되지 않아 지균풍을 계산하기 편리하고, 지 균풍의 크기가 지오퍼텐셜 경도에만 의존한다.
․ 둘째 장점은 연속방정식이 밀도장과 연관되어 있지 않고, 시간미분이 없어진다.
․ 그러나 열역학에너지 방정식에 나타나는 정적안정도 매개변수가 고도에 크게 의 존하는 작은 단점도 있다.

연습문제

1. 를 상수로 간주하면 등압면에서 지균풍의 수평발산이 0이 됨을 증명하라.
(정답)

키워드

소용돌이도,   행성소용돌이도,   지균풍,   선형류,   순환류,   지형류,   에크만 수송,   마찰력,   온위방정식,   대기역학