내부 - 11. 순환과 소용돌이도

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내부 - 11. 순환과 소용돌이도에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

된다. 이 식을 “비야크니스(Bjerknes) 순환 정리”라 한다. 순압유체 에 대해 이 식을 초기 상태(첨자 1)에서 말기 상태(첨자 2)까지 운동을 따라 적분하면, 다음과 같은 순환의 변화를 얻는다.
이 식은 순압 유체에서 유체 입자들의 닫힌 사슬에 대한 상대 순환이 고리에 닫힌 수평 면적의 변화 또는 위도 변화에 의해 변하게 됨을 나타낸다.
한편 경압유체에서 순환은 기압-밀도 솔레노이드항에 의해 생성된다. 다음의 순환 정리
를 사용하면 해풍 순환의 발달 과정을 효과적으로 설명할 수 있다. 다음의 그림에서와 같이 해상의 평균 기온이 이웃한 육상의 평균 기온보다 더 낮다고 가정한다.
만일 기압이 지표면에서 균일하다면, 이므로 등압면과 등밀도면은 그림과 같이 기울어진다. 이 경우에 순환 정리를 적용시키자. 상태방정식 를 이용하면
을 얻는다. 선적분을 아래선우측선위선좌측선을 따라 따로 수행하면 아래선과 윗선의 적분에서는 이므로 적분값이 이 된다. 따라서
그러므로
즉 절대 순환은 시간에 따라 증가한다.
2. 소용돌이도 정의
소용돌이도는 절대 소용돌이도와 상대 소용돌이도로 나누어 속도의 커얼(curl)로 다음과 같이 정의된다.
절대 소용돌이도
상대 소용돌이도
의 성분을 각각 , , 라 하면
한편
그러므로
, ,
대규모 기상역학에서는 일반적으로 소용돌이도의 연직 성분에만 관심을 갖고 중요하게 다룬다.
절대 소용돌이도와 상대 소용돌이도의 연직 성분을 각각 와 로 나타내면
,
로 표현할 수 있다. 대규모 양(음)의 지역은 북(남)반구에서 저기압성 폭풍우와 연관되어 발달하는 경향이 있다. 즉 상대 소용돌이도 분포는 기상 분석을 위한 좋은 진단자이다. 한편 절대 소용돌이도는 중층 대류권에서 운동을 따라 보존된다.
이제 절대 소용돌이도와 상대 소용돌이도의 관계를 살펴 보자.
이므로

이다. 즉 절대 소용돌이도는 상대 소용돌이도와 코리올리 인자의 합과 같다. 이와 같은 의미에서 코리올리 인자 를 “행성 소용돌이도”라고 부르기도 한다.
정리하면, 좌표계에서
,
이다. 앞으로는 편의상 연직성분의 소용돌이도를 언급할 때 “연직성분”이라는 말을 생략할 것이다.
지금부터는 상대 소용돌이도와 상대 순환 사이의 관계를 알아 보자.
소용돌이도는 수평면에서 폐곡선에 대한 순환을 닫힌 면적으로 나누고, 면적을 0으로 접근시키는 극한을 취한 것과 같다고 정의할 수 있다. 즉
이 정의는 앞에서 논의되었던 소용돌이도와 순환 사이의 관계를 명확하게 해 준다. 의 이 두 정의가 서로 일치하는지는 아래 그림에서 평면에 있는 면적 의 사면에 대한 순환을 생각하면 쉽게 증명된다.
면적 로 위 식의 양변을 나누면
소용돌이도와 순환 사이의 관계는 다음과 같은 스토크스 정리에 의해 더 간단히 표현된다.
여기서 는 적분곡선에 의해 닫힌 면적이고, 은 면적소 의 단위 법선 벡터이다. 즉 스토크스 정리는 어느 닫힌 고리에 대한 순환은 그 곡선에 의해 닫힌 면적 위의 소용돌이도의 법선 성분의 적분과 같다는 것을 나타낸다. 따라서 유한 면적에 대하여 면적으로 나눈 순환은 그 지역의 소용돌이도의 평균 법선 성분으로 주어진다.
3. 자연좌표계에서의 소용돌이도
소용돌이도의 물리적 해석은 자연좌표계에서 고려하면 더 간단해진다. 아래 그림에서와 같이 무한소 폐곡선에 대한 순환을 계산하면 다음과 같다.
그림에서 보듯이 이고, 는 거리 에서 풍향의 각변화이다. 따라서
으로 극한을 취하면,
여기서 이고 는 유선의 곡률반경이다.
그러므로 소용돌이도의 연직성분은 두 부분, 즉
(1) 흐름방향에 대한 법선 방향의 풍속 변화율 과
(2) 유선 방향의 바람 회전인 의 합으로 이루어져 있다.
전자를 “쉬어 소용돌이도”, 후자를 “곡률 소용돌이도”라 한다.
아래 그림에서 알 수 있듯이 직선 흐름일지라도 소용돌이도가 생길 수 있고, 곡선 흐름일지라도 소용돌이도가 0일 수 있다.
첫 번째 그림에서 흐름은 직선이지만 쉬어가 있으므로 소용돌이도의 두 성분 중 이지만 이기 때문에 소용돌이도는 존재하게 된다. 첫 그림을 북반구 제트류로 생각한다면 제트 중심축의 북쪽에는 저기압성 상대 소용돌이도가, 남쪽에는 고기압성 상대 소용돌이도가 있게 된다. 이것은 그림에 있는 작은 바람개비의 회전을 생각해도 쉽게 알 수 있다.
두 번째 그림과 같이 곡선 흐름도 쉬어 소용돌이도와 곡률 소용돌이도가 크기는 같고 부호가 반대이면 0의 소용돌이도가 된다.
학습정리
1. 순환은 스칼라 적분양으로서 유체의 한정된 면적에 대한 회전의 거시적 척도이 고, 소용돌이도는 벡터양으로서 유체 내의 어느 한 점에서의 회전의 미시적 척 도이다.
2. 순환 정리란 절대 순환의 시간적 변화가 솔레노이드항에 의존함을 나타내는 식 이다.
3. 실제 대기 운동은 상대 순환이나 상대 소용돌이도로 해석하는 것이 편리하다.
4. 상대 순환의 시간적 변화율에 관한 식이 Bjerknes 순환 정리이다.
5. 소용돌이도는 속도의 커얼로 정의된다.
6. 기상학에서는 소용돌이도의 연직성분이 중요하게 취급된다.
7. 소용돌이도와 순환의 관계는 Stokes정리로 간단히 표현된다.
8. 자연좌표계에서 연직성분의 소용돌이도는 쉬어 소용돌이도와 곡률 소용돌이도로 나뉘어 표현된다.
연습문제
1. 적도에 중심을 둔 반경 의 원형 영역 내의 공기가 초기에 지구에 대해 정지해 있다. 이 원형 공기덩이가 면적을 일정하게 유지하면서 등압면을 따라 북극으로 이동했을 때 북극에서의 순환의 방향과 평균 접선속도를 구하라.
(정답)
에서
, , , 이므로
북극에서의 순환 로 표현하겠음)는 다음과 같이 계산된다.
반경 에서 평균 접선속도 는
여기서 부호가 인 것은 고기압성 상대 순환을 의미한다.
2. 학습 내용 중 해풍 순환에서 , , ℃, , 일 때, 정지상태의 순환으로부터 1시간 후에 나타나는 풍속을 계산하라.
(정답)
여기서 는 해풍 순환을 따른 평균 접선속도이다.
이 식을 로 미분하면
위 식 양변에 로 곱하고 에서 까지 적분하면
이므로 1시간 후의 평균 접선속도 는 약 이다. 실제 대기에서는 마찰과 온도이류로 균형을 이루게 되므로 이와 같이 강한 해풍은 잘 발생하지 않는다.

키워드

대기역학,   등압좌표계,   연속방정식,   경도풍,   온도풍,   지균풍,   건조공기,   유적과 유선,   유적,   유선