[극한, 극한 정의, 극한 오개념, 극한 수학적 기초, 극한 학습지도, 극한 지도방향]극한의 정의, 극한의 오개념, 극한의 수학적 기초, 극한의 학습지도, 극한의 지도방향, 제언 분석(극한, 극한 정의, 극한 오개념)

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목차

Ⅰ. 서론

Ⅱ. 극한의 정의

Ⅲ. 극한의 오개념
1. 극한 개념의 이해와 관련된 인지적 장애
1) 무한개념과 관련된 장애
2) 함수(수열) 개념과 관련된 장애
3) 수 개념의 측면
4) 논리적 측면
5) 기호적 측면
6) 수학적 대상의 존재성에 대한 장애
2. 극한값의 계산과 관련된 인지적 장애

Ⅳ. 극한의 수학적 기초
1. 극한
2. 연속
3. 수열의 극한(수렴)
4. 도함수
1) 미분 가능
2) 도함수
5. 중간값 정리
6. 평균값 정리
7. 적분에 관한 평균값 정리
8. 극값 정리
9. Tayor 정리

Ⅴ. 극한의 학습지도
1. 극한 개념과 식 정의 사이의 간극
2. 극한 기호의 문제점과 무한개념

Ⅵ. 극한의 지도방향

Ⅶ. 결론 및 제언

참고문헌

본문내용

값이다. 이것은 수열의 항의 값과 극한값의 관계를 명확하게 보여주고 나중에 학생들이 대학에서 ε-δ정의를 학습할 때에도 자연스럽게 기호화되고 형식화될 수 있는 모델이다. 또한 수직선 모델을 이용하면 상수열의 극한이나, 극한값을 수열의 항의 일부로 갖고 있는 수열, 예를 들어 의 경우에도 극한값에 대해서 쉽게 설명할 수 있는 장점이 있으며, 발산하는 수열에 대해서도 설명을 도입하기가 쉽다. 따라서 학생들의 장애를 감소시키는 데에 많은 도움이 될 수 있을 것으로 생각된다.
이 두 모델을 모두 활용하여 수렴하는 수열의 특징을 관찰하게 한다. 그리하여 그것은 좌표평면 모델에서는 n이 점점 더 커지면, 수열 은 어떤 하나의 실수 에 점점 더 가까워지는 것임을 관찰하게 하고, 그것이 수직선 위에서는 “n이 점점 더 커지면, 은 점점 더 0으로 줄어든다”는 것 또는 “를 중심으로 아무리 작은 구간을 잡아도 유한개의 항을 제외한 나머지 무한개의 항이 그 구간 안에 들어온다”는 것임을 관찰하게 한다. 그리고 ‘그러한 를 수열 의 극한값이라고 한다’는 형태로 수열의 극한에 대한 정의를 도입하도록 한다. 특히 주의할 것은 극한값은 수열이 가깝게 다가가는 “목표”가 되는 대상을 가리키는 것이지 수열이 도달하는 값이 아님을 분명히 하는 것이 필요하다.
또한 극한 개념에서 중요한 것은 학생들은 수열이 극한값으로 가까워지는 극한 과정뿐만 아니라 극한값을 중심으로 수열을 바라보는 태도를 갖게 하는 것이 필요하다. 극한 개념에서 이 측면, 즉 과정을 중심으로 생각하는 것과 대상을 중심으로 생각하는 것은 매우 중요하고, 널리 응용되는 성질이므로, 두 개념이 자유롭게 서로 교환되면서 떠올릴 수 있도록 강조해서 지도하는 것이 필요하다.
아래의 그래프는 각각 수열 , , , ,에 대한 수열과 그래프이다.
수열의 극한에 대한 직관적 정의에서 사용되는 표현인 “수열 이 에 점점 더 가까워진다”는 것은 “가 0으로 줄어든다”는 것 또는 “를 중심으로 아무리 작은 구간을 잡아도 유한개의 항을 제외한 나머지 무한개의 항이 그 구간 안에 들어온다”는 의미임을 분명하게 설명하는 것이 필요하다. 물론 직관적 정의에서 사용되는 “한없이 가까워진다”는 표현은 훨씬 학생들에게 쉽게 이해되고, 나중에 극한값 계산에서 유용하게 사용될 개념이미지이지만, 그것은 극한 과정에 더 집중시킴으로써 극한값을 중심으로 생각하기 어렵게 하고, 학생들의 오개념의 근원이 된다. 또한 좀 더 일반적인 범위의 수열, 예를 들어,
나,
와 같은 수열에 대해서도 일관성 있게 갈등을 일으키지 않게 극한 개념을 설명할 수 있다.
또한 이 정의를 바탕으로 하는 수직선 모델은 극한값을 중심으로 임의의 작은 구간을 생각하게 하므로, 수직선 위에 그것의 위치를 표시할 수 없고 구간을 잡을 수 없는 ∞를 극한값이라고 말하지 않을 것이다. 또한 수직선 모델은 위와 같은 수열에 대해서도 그것의 극한값을 쉽게 갈등 없이 설명할 수 있게 한다.
또한 컴퓨터 프로그램을 이용하여 학생들에게 수열을 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있음을 보여주는 것도 학생들이 극한에 대한 보다 강한 심상과 장애를 극복할 수 있는 다양한 개념이미지를 심어줄 수 있다고 생각된다.
Ⅶ. 결론 및 제언
수학교육에서 이해는 매우 광범위하고 중요한 위치를 차지하고 있음에도 불구하고, 이해의 개념이 명확히 파악되어 있지 않기 때문에 학교 수학에서는 이해를 위한 활동을 기능 습득하기 위한 수단으로 생각하고 있는 실정이다. 사전적 의미에서 이해란 “상황에 대한 의미를 알아내는 지적 작용(강길수 외. 1972)”으로 정의하고 있으며, Ginburg(平林一榮. 1987에서 재인용)는 수학교육의 입장에서 이해를 “새로운 수학적 지식과 기존의 지식들 사이에서 적절한 관계를 형성하는 것.”이라고 정의하고 있다. Hiebert(1986)는 ‘새로운 지식이 기존의 지식과 적절한 관계를 이룰 때의 지식의 상태’. 즉 새로운 정보가 기존에 형성된 유사한 지식의 조직과 구조에 동화(assimilating)되어 기존 조직의 일부가 되는 것을 ‘이해’라고 정의하고 있다. 수학은 먼저 이해하면서 학습한 후 필요하다면 기억한 것을 연습하는 것이 단순한 기계적 암기로 수학을 배우는 것보다 훨씬 더 유용하고 전이성이 있다는 증거에도 불구하고(Hiebert 1999), 아직도 일부 교사들은 이해를 기능을 습득하는 수단으로 잘 못 해석하는 경향이 있으며, 학생들 또한 ‘어떻게 하는지’는 알지만 ‘왜 그렇게 하는지’는 모르는 상태에서 도구적 이해에 바탕으로 문제를 해결하는 경향이 있다. 예컨대, 분수의 나눗셈 ‘÷=×==1’처럼 피제수에 제수의 역수를 곱하여 몫을 구하였다면 우리는 일반적으로 분수의 나눗셈의 원리를 이해하고 있는 것으로 착각하고 있다. 비록 몫을 바르게 구하였다고 하더라도 ‘왜 제수의 역수를 곱하는가?’를 알지 못한다면 분수 나눗셈의 원리를 이해했다고 볼 수 없는 것이다. 또, 대분수 3을 가분수로 고칠 경우, 학생들은 기계적으로 =로 나타내는 것을 볼 수 있다. 이러한 현상은 수학적 지식의 습득에서 기능보다 이해를 강조한 Thorndike나 Gagne 등 행동주의 학습 이론에 따른 교수법에 더 익숙해져 있는 경향 때문이라고 생각된다. 그러나 최근의 연구 ―RME(Realistic Mathematics Education)나 구성주의― 는 수학교육의 초점을 \'산물이 아닌 과정. 즉 도달해야 할 목표보다는 도달하는 방법\'을 더욱 강조하고 있다. 이해를 강조한 수학교육은 ‘무엇을 할 수 있느냐?’보다는 ‘무엇을 알고 있느냐?’에 초점을 두고 해석해야 할 것이다.
참고문헌
김혜미(2011), 수열의 극한개념의 지도에 관한 연구, 한양대학교
강가림(2009), 수열의 극한 단원에서 나타나는 오류와 오개념에 대한 연구, 한양대학교
고희영(1993), 극한의 지도 방법에 관하여, 한양대학교
박군웅(1996), 고등학교 수학교육과정에서의 극한의 고찰 및 지도, 단국대학교
백인수 외 1명(2000), 고등학교 수학교육에서의 극한의 이해, 부산외국어대학교
황인숙(2004), 극한개념의 이해에 관한 학습지도방안, 한국외국어대학교

키워드

극한,   오개념,   수학적 기초,   수학,   연속