파동방정식에 대해서

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파동방정식에 대해서에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 파동방정식
2. 파동의 간섭
3. 위상자
4. 정지파와 공명

본문내용

파동의 마루가 일치하게 배열된다면 파동은 모든 곳에서 상쇄되어 직선 모양이 된다.
ㆍ
여기서 , 을 가정하면
의 식이 성립된다. 이 식을 간단하게 표현하기 위해 삼각함수 공식을 이용해야 한다. 위 식을 간단하기 위해 사용되는 삼각함수 공식은 아래와 같다.
즉, 에 관한 식에 삼각함수 공식을 이용하면,
3. 위상자
위상자는 좌표계의 원점을 주위로 회전하는 벡터이다. 이 벡터의 크기는 이것이 나타내는 파동의 진폭인 과 같다. 또한 회전하는 각속력은 파동의 각진동수 와 같다.
의 식과 또한 에 관한 식인 을 합성하면 [그림 3]과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 [그림 3]에서 에 관한 식을 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
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이렇게 [그림 3]에서 볼 수 있는 바와 같이 파동의 진폭이 다르더라도 위상자를 이용하여 파동을 합성할 수 있다.
4. 정지파와 공명
같은 속도로 왼쪽으로 진행하는 파와 오른쪽으로 진행하는 파가 합성될 때 파형이 좌우로 진행하지 않는다. 즉, 변위의 최대점과 최소점이 변하지 않는데 이를 정지파라고 한다. 정지파 분석을 위해 두 파동, 즉, 와 를 고려하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.
이 두 식을 더하면 아래와 같다.
ㆍㆍㆍi)
여기서 의 삼각함수의 합성원리를 이용하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.
ㆍ
여기서 진폭은 에 해당한다. 다시 말해, 는 위치 에 있는 줄의 요소가 진동하는 진폭을 의미한다. 단, 진폭의 값은 항상 양수인데 는 음수가 될 수 있으므로 절대값을 취할 필요가 있다.
정지파는 양 끝이 막혀 있는 파동이다. 또한, 정지파는 위치에 따라 진폭이 변한다. 즉, 의 식에서 진폭이 최대일 때와 최소일 때를 구분하자.
위 식을 이용해서 공명진동수를 구해보자. 이므로 의 식에서 의 식이 성립되므로 최종적으로 의 식을 구할 수 있다. 공명진동수는 에 해당하는 가장 낮은 공명 진동수 의 정수배임을 알 수 있다. 가장 낮은 공명 진동수를 갖는 진동모드를 기본모드 또는 제1 조화모드라고 부른다. 또한, 등에 해당하는 진동모드들은 제2 조화모드, 제3 조화모드 등으로 부른다. 이러한 진동모드에 대한 진동수를 보통 으로 표기하며 진동모드 전체를 조화계열이라고 한다. 또한 을 번째 조화모드의 조화치수라고 한다. 이렇게 일정한 장력의 현들은 각각 특정한 진동모습에 해당하는 공명 진동수를 갖으며 공명진동수가 가청범위이면 줄의 모양에 따라 다른 소리를 들을 수 있다.

키워드

파동방정식,   파동의 간섭,   보강간섭과 상쇄간섭,   위상자,   정지파와 공명,   삼각함수,   공명진동수,   조화모드,   일반물리학