공통수학 도형의 방정식

목차

제1장. 점과 좌표

§1. 두 점 사이의 거리

§2. 선분의 내분점과 외분점

§3. 좌표와 자취

제2장. 직선의 방정식

§1. 직선의 방정식

§2. 두 직선의 위치관계

§3. 정점을 지나는 직선

§4. 점과 직선 사이의 거리

제3장. 도형의 이동

§1. 평행이동

§2. 대칭이동

§3. 회전이동

제4장. 원의 방정식

§1. 원의 방정식

§2. 원과 직선의 위치관계

§3. 원과 원의 위치관계

§4. 자취 문제 (원)

제5장. 부등식의 영역

§1. 부등식의 영역

§2. 부등식의 영역과 최대 ‧ 최소

제6장. 도형의 여러 가지 성질

§1. 중학교 도형에 관한 공식

본문내용

하
므로 높이가 최대일 때 넓이가 최대가 된다.
점 가 일 때 높이가 최대이고, 넓이의 최대값은 이다.
또,가 최대가 되는 것은 오른쪽 아래 그림과 같이 직선
가 원에 접할 때이다.
에서, 이므로
제5장. 부등식의 영역
§1. 부등식의 영역
꼴의 부등식의 영역
(1) 가 나타내는 영역
⇒ 의 그래프의 윗부분
(2) 가 나타내는 영역
⇒ 의 그래프의 아래부분
[참고] 등호가 있으면 경계선이 포함되고, 등호가 없으면 경계선이 제외된다.
【ex. 1】다음 부등식의 영역을 그림으로 나타내어라.
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 직선 의 윗부분 (단, 경계선 제외)
(2) 포물선 의 윗부분 (단, 경계선 포함)
(3) 곡선 의 아래 부분 (단, 경계선 제외)
[참고] 부등식,을 만족하는 영역
의 영역 : 의 그래프의 오른쪽 부분
의 영역 : 의 그래프의 왼쪽 부분
【ex. 2】의 영역 :
직선 의 오른쪽 부분
꼴의 부등식의 영역
첫째, 의 그래프를 그린다.
둘째, 위에 없는 임의의 점을 부등식에 대입하여,
(ⅰ) 부등식을 만족하면 그 점이 있는 쪽이 구하는 영역이고,
(ⅱ) 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 있는 쪽은 그 부등식의 영역이 아니다.
【ex. 3】다음 부등식의 영역을 그림으로 나타내어라.
(1)
(2)
(풀이) (1) 원 의 내부
(2) 원 의 외부
연립부등식의 영역
(1) 연립부등식(1)의 영역
【ex. 4】연립부등식 의 영역을 나타내어라.
(풀이) 을 동시에 만족하는 영역이다.
포물선 의 윗부분이면서 직선 의
아랫부분인 영역은 오른쪽 그림과 같다.
(2) 연립부등식(2)의 영역
【ex. 5】부등식 의 영역을 도시하여라.
(풀이) 에서 [가 같은 부호 ]를 이용하면
(ⅰ) 또는
(ⅱ) 이다.
(ⅰ)은 의 공통부분이고,
(ⅱ)는 의 공통부분이다.
따라서, 구하는 영역은 (ⅰ) 또는 (ⅱ)의 영역이므로
오른쪽 그림과 같다.
<다른 풀이> 우선 인 도형(포물선과 원)을 나타낸다.
이 도형 위에 있지 않은 임의의 점을 하나 택한다. 이를테면, 점 을 택하여 위의 부등식에
대입하면 이므로 주어진 부등식을 만족하지 않는다.
따라서, 점 을 포함하는 영역은 해당되지 않고, 이 영역과 이웃하는 영역이 된다.
§2. 부등식의 영역과 최대 최소
부등식의 영역과 최대최소
조건이 부등식으로 주어질 때의 최대, 최소 문제는
(ⅰ) 조건식을 만족시키는 점 의 영역을 도시한다.
(ⅱ) 최대값 또는 최소값을 구하려는 식 를 로 놓고,
이 그래프를 위의 영역 안에서 움직여 본다.
(ⅲ) 이 때, 가 최대인 것, 최소인 것을 조사한다.
【ex. 6】부등식 를 만족시키는 의 값에 대하여 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(풀이) 부등식 를 만족시키는 점 의 영역
은 원 ①의 내부(경계선 포함)이다.
로 놓으면 ②
직선 ②는 기울기가 -1인 직선이다.
①, ②가 접하는 것은 원의 중심(원점)으로부터 직선
에 이르는 거리가 원의 반지름과 같을 때이다.
따라서, 의 최대값은 , 최소값은
【ex. 7】연립부등식 을 만족하는 에 대하여 다음 값을 구하여라.
(1) 의 최대값 (2) 의 최소값
(풀이) (1) 연립부등식 에서
위의 영역은 오른쪽 그림과 같다.
로 놓으면 ①
직선 ①이 포물선 에 접할 때
는 최대이다.
,
따라서, 의 최대값은
(2) 로 놓으면 이것은 중심이 원점이고 반지름이 인 원이므로 가 최소가 되는
것은 원점에서 직선 에 수선을 내렸을 때이다.
원점에서 직선 에 이르는 거리 는
이므로 의 최소값은
연립부등식의 영역과 최대,최소 응용문제 (선형계획법-Linear Programming)
【ex. 8】어느 공장에서 제품를개씩 만드는데에 필요
한 원료와 전력량은 오른쪽 표와 같다. 사용 가능한 원
료의 양은 kg이고, 전력량은 총 kw/h를 초과하여
제품
원료(kg)
전력(kw/h)
A
2
1
B
1
2
쓸 수 없다. 제품 를개씩 만들어 팔 때의 이익은
각각 만원, 만원일 때, 이 공장에서 제품 를 만들어 판매하여 얻을 수 있는 최대 이익은
얼마인가?
(풀이) 제품 를 각각 개, 개 만든다고 하면 ①
사용 가능한 원료의 양은 kg
이하이므로
②
제품
개수
원료 (kg)
전력 (kw/h)
이익(만원)
A
개
2
1
3
B
개
1
2
2
조건
사용가능한 전력량은 kw/h 이하이므로
③
①, ②, ③을 동시에 만족하는 영역은 그림의 빗금부분과 같다.
판매 이익을 라 하면 ④
점가 위의 영역에서 움직일 때, 가 최대가 되는 것은
직선 와 의 교점 을
지날 때이고, 그 때 판매 이익의 최대값은
에 대입하여 (만원)
제6장. 도형의 여러 가지 성질
§1. 중학교 도형에 관한 공식
닮음에 관한 공식
① ② ③
④ ⑤ 각의 이등분선의 성질
피타고라스의 정리
① ② ③ ④
※ 삼각형의 구분
예각삼각형
직각삼각형
둔각삼각형
삼각형의 오심
(1) 내심 : 세 각의 이등분선의 교점 (내접원의 중심)
(2) 외심 : 세 변의 수직이등분선의 교점 (외접원의 중심)
(3) 무게중심 : 세 중선의 교점 ( )
(4) 수심 : 세 수선의 교점
(5) 방심 : 한 내각의 이등분선과 두 외각의 이등분선의 교점 (방접원의 교점)
(1) 내심 (2) 외심 (3) 무게중심 (4) 수심
※ 직각삼각형의 내접원의 반지름
다각형에 관한 공식
(1) 각형의 내각의 크기의 합 :
정각형의 한 내각의 크기 :
(예) 각형의 내각의 합 : ,
정각형의 한 내각의 크기 :
(2) 각형의 대각선의 개수 :
(예) 각형의 대각선의 개수 :
정다면체
종 류
한 면의 모양
꼭지점의 개수
모서리의 개수
정 4면체
정3각형
4 개
6 개
정 6면체
정4각형
6 개
8 개
정 8면체
정3각형
6 개
12 개
정12면체
정5각형
20 개
30 개
정20면체
정3각형
12 개
30 개
원에 관한 공식
① 원주각과 중심각 ② 내접사각형 ③ 원의 중심에서 현에 내린 수선은
현을 수직이등분한다
④ 접선의 길이는 같다. ⑤ 외접사각형 ⑥ 지름에 대한 원주각은 직각이다.
⑦ 원과 접선(1) ⑧ 공통내접선 ⑨ 공통외접선
⑩ 원과 할선(1) ⑪ 원과 할선(2) ⑫ 원과 접선(2)

키워드

공통수학 도형의 방정식,   도형의 방정식,   점과 좌표,   내분점과 외분점 ,   좌표와 자취