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우함수
(1) 우함수(짝함수) → 지수가 짝수인 함수
(x2, x4, ... 및 상수함수)
① 모든 x 에 대하여 f(-x)=f(x)
② 그래프는 y 축에 대하여 대칭
기함수
(2) 기함수(홀함수) → 지수가 홀수인 함수
(x, x3, x5, ...)
① 모든 x에 대하여
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1 . 주기가 인 다음 함수 의 푸리에 급수를 구하고, 와 를 포함하는 부분합의 그래프를 그려라.
,
풀이
에서 는 우함수이고 는 기함수이므로 적분을계산하면
은 0이 된다.
2. 주기가 4인 다음 함수 의 푸리에 급수를 구하고, 와 를 포함하는 부분
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다.
(c)
13.6 에 대해, 이다. 주기는 초이다.
(a) 그리고 의 파형을 그려라.
(b) 의 푸리에 급수 전개식을 구하고, 그 결과를 논하라.
와 가 구간 내에서와 끝점, 에서 연속이므로, 고조파 진폭이 로 감소할 것으로 예상된다. 함수는 인 기함수이다.
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기함수이다.
b) 기함수의 도함수는 우함수이다.
풀이> a) 만약 f가 우함수이면 f(x) =f(-x) 이다. 연쇄법칙을 수식에 적용하면
즉 이므로 f'은 기함수이다.
b) 만약 f가 기함수이면 f(x) = -f(x)이다. 이 식을 미분하면
이므로 f'은 우함수 이다.
문제 2-
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기함수라 한다. 이 때, 다음은 ‘모든 함수는 우함수와 기함수의 합의 꼴로 표현할 수 있다.’라는 명제의 참거짓을 밝히는 과정이다.
<증명>에서
로 놓으면 는 (가)이고, 는 (나)이다. 따라서, 주어진 명제는 (다)이다.
위의 증명 과정에서
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