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우함수
(1) 우함수(짝함수) → 지수가 짝수인 함수
(x2, x4, ... 및 상수함수)
① 모든 x 에 대하여 f(-x)=f(x)
② 그래프는 y 축에 대하여 대칭
기함수
(2) 기함수(홀함수) → 지수가 홀수인 함수
(x, x3, x5, ...)
① 모든 x에 대하여
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1 . 주기가 인 다음 함수 의 푸리에 급수를 구하고, 와 를 포함하는 부분합의 그래프를 그려라.
,
풀이
에서 는 우함수이고 는 기함수이므로 적분을계산하면
은 0이 된다.
2. 주기가 4인 다음 함수 의 푸리에 급수를 구하고, 와 를 포함하는 부분
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우함수의 도함수는 기함수이다.
b) 기함수의 도함수는 우함수이다.
풀이> a) 만약 f가 우함수이면 f(x) =f(-x) 이다. 연쇄법칙을 수식에 적용하면
즉 이므로 f'은 기함수이다.
b) 만약 f가 기함수이면 f(x) = -f(x)이다. 이 식을 미분하면
이므로 f'은
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우함수, 를 만족할 때, 를 기함수라 한다. 이 때, 다음은 ‘모든 함수는 우함수와 기함수의 합의 꼴로 표현할 수 있다.’라는 명제의 참거짓을 밝히는 과정이다.
<증명>에서
로 놓으면 는 (가)이고, 는 (나)이다. 따라서, 주어진 명제는 (다)
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우함수 부분과 기함수 부분의 합으로 분해될 수 있다. 즉,
(a) 와 를 와 의 적절한 결합으로 얻을 수 있다는 것을 보여라.
(b) (a)의 결과를 이하여, 그림 P13.8에 보인 함수의 우수 부분과 기수 부분의 파형을 구하라.
(c) 의 삼각 형식 푸리에 급수
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