수학의 기초와 기본개념

목차

1. 유클리드 이전의 수학
2. 유클리드 원론
3. 비유클리드 기하
4. 힐베르트의 기초
5. 대수적 구조
6. 형식적 공리학
7. 실수 체계
8. 집합
9. 논리학과 철학

본문내용

구체적으로 만들 수 있기 때문에, 집합론에서 역설의 발견은 자연스럽게 수학의 기초적인 전체 구조의 정당성을 의심받게 만든다.
수학의 기초에 관한 세 가지 주요한 철학 학파가 등장했다. 그것은 논리주의 학파, 직관주의 학파, 형식주의 학파이다. 자연스럽게, 수학의 기초에 관한 모든 현대적인 철학은 수학의 기초에 존재하는 현재의 위기를 대처해야만 한다.
◎ 수리 철학
논리주의 : 수학은 논리학의 분야라는 것이 논리주의 학파의 명제이다. 논리학은 단순히 수학의 도구라기보다는 수학의 원형이 된다. 모든 수학적 개념은 논리적 개념을 사용해서 공식화되어야 하고, 수학의 모든 정리는 논리학의 정리로 전개되어야 한다. 수학과 논리학 사이의 차이는 실질적인 편의에 불과 하다. 수학적 개념을 논리적 개념으로 구체적으로 환원시키는 연구는 데데킨트와 프레게에 의해 시행되었으며, 논리적 기호를 사용한 수학적 정리의 서술은 페아노에 의해 시도되었다. 그 이후에 비트겐슈타인, 치비스테크, 람지, 랑포드, 카르납, 콰인 등에 의해 계획은 수정되고 정교하게 되었다.
논리주의 학파에 명제는 수학의 기초를 가능한 낮은 단계로 끌어내리려는 노력으로부터 자연스럽게 나타났다. 그 다음에 이 기초를 실수 체계로부터 자연수 체계로 그리고 집합론으로 어떻게 끌어내렸는지를 알아봤다. 집합론은 논리학의 필수적인 부분이기 때문에, 수학을 논리학으로 환원시키는 발상은 분명히 나타날 만하다. 그러므로 논리주의 학파의 명제는 역사적으로 공준적 방법을 적용하려는 중요한 경향의 암시에 의해 시도된 종합화이다.
직관주의 : 수학은 반드시 유한한 구성적인 방법에 의해, 직관적으로 주어진 자연수 위에 건설되어야 한다는 것이 직관주의 학파의 명제이다. 그러므로 이 견해에 따르면 수학의 기저에는 기본적인 직관이 놓여 있다. 이 직관은 의심할 바 없이 전후의 시간적 감각과 유사하며, 단 하나의 대상, 그것보다 하나 더 많은 대상, 그것보다 또 하나 더 많은 대상 등과 이와 같이 계속되는 끝이 없는 대상들에 대한 상상을 허락한다. 이와 같은 방법으로 우리는 끝이 없는 수열을 얻으며, 가장 잘 알려진 이와 같은 보기는 자연수의 수열이다. 자연수 수열의 이와 같은 기저로부터 유한 번의 단계 또는 연산을 사용해서, 다른 모든 수학적 대상은 순수하게 구성적인 방법으로 만들어져야만 한다. 직관주의 학파의 명제에서 수학의 발생적 전개는 극단까지 끌어내려진다.
직관주의 학파는 1908년경에 네덜란드의 수학자 브로우베르에 의해 시작되었다. 그렇지만 직관주의 학파의 일부 개념은 그 이전에 크로네커와 푸앵카레와 같은 사람에 의해 주장되었었다. 이 학파는 시간이 지남에 따라 점점 더 강성해졌으며 현대의 일부 저명한 수학자들이 가세하게 되었고 수학의 기초에 관한 모든 철학에 대단한 영향을 끼치게 되었다.
직관주의 명제의 일부 결론은 거의 혁명적이다. 그러므로 구성적인 방법에 대한 강조는 모든 수학자가 동의하지 않는 수학적 존재의 개념을 이끌어었다. 직관주의 학파에게 존재가 증명된 실체는 반드시 유한 번의 단계 내에 구성할 수 있다는 사실이 반드시 밝혀져야 한다. 즉, 그 실체가 존재하지 않는다고 가정하면 모순이 발생한다는 사실을 밝히는 것은 충분하지 않다. 이것은 현대 수학에서 찾아볼 수 있는 많은 존재 증명은 직관주의 학파에게 받아들여질 수 없음을 의미한다.
대부분의 수학자들이 소중하게 생각하는 것을 너무 많이 희생시키는 것이 직관주의 학파의 접근 방법에서 발견된 결함이다. 이 상황은 영원히 존속하지 않을 수도 있다. 왜냐하면 고전적인 수학을 직관주의 학파의 주장에 따른 좀더 성공적이고 다른 방법을 사용해서 재건할 수 있는 가능성이 남아 있기 때문이다. 한편, 직관주의 학파의 명제에 대한 반대가 제기되고 있지만, 직관주의 학파의 방법은 모순을 야기하지 않는다고 일반적으로 인정되고 있다.
형식주의 : 수학은 형식적인 기호 체계에 관한 학문이라는 것이 형식주의 학파의 명제이다. 실제로, 수학은 추상적인 전개의 모임으로 간주된다. 추상적인 전개에서 용어는 단순히 기호이며 명제는 이 기호들을 포함한 공식이다. 수학의 궁극적인 기저는 논리학에 놓여 있지 않고, 논리 이전의 표시 또는 기호의 모임과 이런 기호들의 연산의 집합에 놓여 있다. 이와 같은 견해에서, 수학은 구체적인 내용을 포함하지 않고 단지 관념적인 기호 원소만을 포함하기 때문에, 수학의 여러 분야에 대한 무모순성의 확립은 형식주의 학파의 계획에서 중요하고 필수적인 부분이 된다. 형식주의 학파의 명제에서 수학의 공리적 전개에 대한 극단을 갖게 된다.
형식주의 학파는 힐베르트가 기하학의 공준적 연구를 끝마친 뒤에 형성되었다. 기하학의 기초에서 힐베르트는 공준적 방법을 유클리드의 실질적 공리학에서 현대의 형식적 공리학으로 발전시켰따. 형식주의 철학은 집합론의 역설들에 의해 야기된 위기와 직관주의 학파의 비판에 의해 야기된 고전적인 수학에 대한 도전에 대처하기 위해서 힐베르트에 의해 전개되었다. 힐베르트는 1904년에 이미 형식주의 철학에 대해 말했지만, 1920년 이후에야 그와 그의 협조자인 베르나이스, 아커만, 폰 노이만 등이 현재 형식주의 계획이라 부르는 것에 대한 진지한 연구를 시작했다.
고전적인 수학을 구조하려는 힐베르트 계획의 성공과 실패는 무모순성 문제의 해결에 달려 있다. 모순으로부터의 해방은 무모순성 증명에 의해서만 보장되며, 해석과 모형에 근거한 예전의 무모순성 증명은 통상 무모순성의 문제를 수학의 한 영역에서 다른 영역으로 전이시키는 것에 불과하다. 다시 말하면, 모형의 방법에 의한 무모순성 증명은 단지 상대적일 뿐이다. 이에 따라 힐베르트는 무모순성 문제에 대한 새로운 직접적인 방법을 생각했다. 경기의 규칙에 의해 그 경기 내에서는 어떤 상황이 절대로 일어날 수 없다는 사실을 증명할 수 있는 것과 마찬가지로, 기초적인 기호들로부터 받아들일 만한 공식을 얻기 위한 과정에 대한 규칙들의 적절한 집합에 의해 모순된 공식이 절대로 나타날 수 없다는 사실을 증명하기를 힐베르트는 희망했다. 이와 같은 모순된 공식이 나타날 수 없다고 증명할 수 있다면, 그 체계의 무모순성을 증명하게 된다.

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